Введение в теорию относительности - Бергман П.Г.
Скачать (прямая ссылка):
ds2 = Ri (d'f 4- Cos2Iprff)2).
Чтобы включить подобные непрерывные многообразия в круг разбираемых вопросов, рассмотрим пространства с некоторым метрическим тензором, не останавливаясь на вопросе о возможности введения в них декартовой системы координат. Образование, в котором задан „квадрат дифференциала длины", т. е. инвариантная однородная квадратичная функция дифференциалов координат, называется »метрическим пространством* или „римановым пространством". Если возможно в римановом пространстве ввести такую систему координат, в которой метрический тензор в каждой точке будет равен Srt, эта система координат будет декартовой, а пространство называется эвклидовым.
Если бесконечно малое расстояние определяется соотношением
ds* = gitd*'dZ,l> (5.61)
причем ds2 инвариант, то ga является ковариантным тензором. Наше предыдущее доказательство основывалось на
дхь дхь
предположении, что ga равно выражению -щ • ^f; другими
словами, мы предполагали возможность введения декартовой системы координат. Для того чтобы показать, что трансформационные свойства git не зависят от этого предположения, рассмотрим следующее уравнение:
ft^rf?=^?»^, (5.62) выражающее инвариантность ds*. Заменяя dV слева через (ds'/dS"")-получим:
g„ д(1 3^ dVm d?n = g'dl'm dt'a. (5.63)
дїт дїп
В силу произвольности dZ'm можно приравнять коэфи-циенты с обеих сторон равенства, таким образом показывается справедливость соотношений (5.60).
Если детерминант компонент gtl не равен нулю, можно ввести совокупность новых величин g41 согласно соотношениям
SikSki=t (5.64)
Чтобы получить их трансформационные свойства, преобразуем сначала gik. Заменим их выражением
dVm dVn . ..
gli=~d? Itfgmn' ( >
тогда получим:
di< g™ ді* 8 ''
dV _
далее умножаем последнее соотношение на — •—.Всилу
«к' <??'
(5.59) правая часть обращается в Ssr; для левой части получим:
W ^ gmilIFg^ W= Vgmn^ we*'=
rn dik dt? '
ztm xis
g> * g*i=$*. (5.66)
Zrn dZk dil s г
так что
Сравнение (5.66) с (5.64) дает
т. е. gkl являются компонентами контравариантного тензора. Тензор этот симметричен. Это можно показать, умножая (5.64) на g/sg'r- Тогда левая часть будет равна
KsklSst=sslsrl,
в то время как правая часть обращается в ViSl^r= SisSlr=SsiSir= к т. е. мы видим, что
SsiSrl=K
и, сравнивая это соотношение с (5.64), находим
Skl = Slk- (5.68)
Тензор gи называется контравариантным метрическим тензором. Значения его компонент, как ясно из (5.64), равны минорам от gkl, деленным на детерминант g=\gab\'.
g»ninor (gkl). (5.69)
В декартовой системе координат gы равно ік1.
Поднятие и опускание индексов. Ковариантный вектор может быть получен из контравариантного умножением на метрический тензор и суммированием по паре индексов:
*i = Sib*k- (5.70)
Обратный процесс производится умножением at на контра-вариантный метрический тензор:
a" = gikar (5.71)
Из определения контравариантного метрического тензора (5.64) следует, что уравнение (5.71) эквивалентно уравнению (5.70), другими словами, уравнение (5.71) приводит к тому же контравариантному тензору, который фигурирует в (5.70). Два вектора at и ак могут поэтому рассматриваться, как два равноправных описания одного и того же геометрического понятия. Операции (5.70) и (5.71) называются поднятием и опусканием индексов. Таким же образом поднимаются и опускаются индексы у тензоров Норма вектора определяется скаляром a2 = g[ka'ak = SikCtpi = a'a t
(5.72)
скалярное произведение двух векторов может быть записано в любой из следующих форм:
Тензорные плотности. Тензорная плотность Леви-Чивита. Тензорной плотностью называется совокупность величин, преобразующихся по закону:
где W—постоянная, величина является характеристикой данной тензорной плотности; эта постоянная называется весом тензорной плотности. Тензоры — это тензорные плотности веса нуль. В зависимости от числа индексов говорят также о скалярной и векторной плотностях.
Сумма двух тензорных плотностей с одинаковым числом индексов каждого типа и одинакового веса является тензорной плотностью с теми же характеристиками. При умножении их веса складываются.
Символы Леви-Чивита 6а,...ап и Sfli••• ап представляют
собой соответственно тензорные плотности с весом (-1)
и (—J— 1), (л — число измерений). Доказательство этого утверждения просто и аналогично тому, которое было дано при рассмотрении ортогональных преобразований.
Детерминант ковариантного метрического тензора
afi1 = Ofbi = gika'bk = ^V*- (5-73)
л ..
S=\Sik I
(5.75)
является скалярной плотностью с весом 2.
Заметим, что с тензорными плотностями иам почти не придется иметь дела- Тензорный анализ1). Рассмотрением тензорных плотностей мы полностью завершили изложение тензорной алгебры; точнее, мы описали последнюю настолько полно, насколько это нам потребуется. Теперь мы перейдем к тензорному анализу. Мы уже видели, что обыкновенные производные скалярного поля представляют собой компоненты ковариантного векторного поля. Однако в общем случае производные тензорного поля не образуют нового тензорного поля.
