Введение в теорию относительности - Бергман П.Г.
Скачать (прямая ссылка):
21*
= (4.11)
которое следует из результата опыта Майкельсона-Морлея. Обозначим множитель, характеризующий замедление хода часов через 8, и множитель, характеризующий сокращение масштабов в направлении v, через Л. Получить соотношения, связывающие t с t*, I с /*, и определить Л и 6 так, чтобы уравнения (4.1) и (4.11) стали эквивалентными.
Ответ.
t* = Ы, _
/*=/ 1/sin^a -f A~acosaa,
Л = 6 =V 1—г»2/«:2-
в) Чтобы получить полную систему уравнений преобразования Лорентца (4.13), введем две системы координат: одну покоящуюся, а другую движущуюся по отношению к эфиру (5 и S*). Найти кажущиеся расстояния точек на осях системы 5* от начала координат этой системы. Наконец, установить такую связь между показаниями движущихся и покоящихся часов, чтобы световой сигнал, исходящий из начала системы координат S* в момент t=t* = 0 имел кажущуюся скорость с во всех направлениях.
(4.III)Глава V
ВЕКТОРНЫЙ И ТЕНЗОРНЫЙ АНАЛИЗ
В W-MEPHOM ПРОСТРАНСТВЕ *
Классическая теория преобразований подразумевает существенное различие между пространственными и временной координатами. Поскольку интервалы времени в классической физике считаются инвариантными, временная координата всегда преобразуется сама в себя.
В релятивистской теории преобразований временная координата перестает занимать это обособленное положение, так как если две системы движутся друг относительно друга, то время в одной системе координат зависит не только от временной, но и от пространственных координат другой системы.
Законы классической физики всегда формулируются таким образом, что временная координата оказывается отделенной от пространственных; это обусловлено характером тех преобразований, относительно которых эти законы кова-риантны.
Возможно и релятивистскую физику построить так, чтобы временная координата сохраняла свое специфическое положение, однако при этом законы теории относительности принимают громоздкий вид, что часто затрудняет их использование.
Для теории относительности нужно подобрать подходящий формализм. Уравнения преобразования Лорентца подсказывают целесообразность равноправной трактовки всех четырех координат: х, у, z и t. Как это должно быть сделано, было показано Г. Минковским. Мы увидим, что применение введенного им формализма упростит многие проблемы и сделает многие релятивистские законы и уравнения более ясными, чем их нерелятивистские аналоги.
Классическая физика характеризуется инвариантностью длин и времени. Формально релятивистскую физику можнохарактеризовать инвариантностью выражения:
+ (Л-Л )2 +(3-D
Инвариантность этой квадратичной формы относительна разностей координат ограничивает группу всех возможных линейных преобразований координат х, у, z и t преобразованиями Лорентца, так же как инвариантность выражения
«и = (** - xiV + Cv, ¦-У,)г + (? - *.)*' (5.2>
определяет группу ортогональных преобразований в трехмерном пространстве. Четырехмерный континуум у, z, t) с инвариантной формой T^2 можно трактовать как четырехмерное „пространство", вкотором T12 является ,расстоянием" между двумя ,точками": (л:,, yv zv tx) и (дс3, у2, z2, t2). Благодаря этому оказывается возможным развить обобщенный векторный анализ в „мире Минковского" и сформулировать все инвариантные соотношения в ясной и сжатой форме.
Мы начнем изучение этого математического метода с напоминания основ элементарного векторного исчисления, обращая внимание главным образом на формальную сторону. Затем мы обобщим формализм таким образом, чтобы стало возможным его применение к пространственно-временному континууму.
Ортогональные преобразования. Начнем с рассмотрения прямоугольной декартовой системы координат, причем обозначим ее три координаты через Je1, х2 и х3 (вместо Xt у и г). Обозначим также разности координат между двумя точками PnP' через Hxv Ax2 и Axs. Расстояние между двумя точками равно:
з
5s= S Ajc?. (5.2а)
J_ 4 •Произведя линейное преобразование координат J, о
/=1,2,3, (5.3)
A=I
получим новые разности координат
3
AxJ= S CikAxk, / = 1,2,3. (5.4)
A=I
Эти уравнения можно решить относительно Axk:
3
Axk= 2 ?1,-4*;, ft — 1, 2, 3. (5.5)
1-Х
Уравнение (5.2а) в новых переменных имеет вид:
S (5.6)
i,k, fc=l
Новая система координат является прямоугольной декартовой системой только в том случае, когда соотношение (5.6) формально идентично с (5.2а), т. е. если
8 /о, если ft^=M
,? с«с«=|1, если ft =/.J (5.7)
(5.7) можно записать в более сжатой форме, употребляя символ Кронекера Skl, определяемый соотношениями
*« = 0, А ф I, \ •1-і. *=/•} (58) (5.7) запишется тогда в виде
S c'tkc'ii = bkv ft, /=1,2, 3. (5.7а)
/=1
(5.7а) представит собой условие, которому должно удовлетворять уравнение преобразования (5.3), чтобы новая система была также декартовой.Легко найти условия, которым должны удовлетворять коэфициенты cik. Подставляя (5.4) в (5.5), получим:
3
Д**= S CktCilAxp A=I1 2, 3, (5.9)
и так как это справедливо для произвольного Axk, то з