Введение в теорию относительности - Бергман П.Г.
Скачать (прямая ссылка):
S^d = Jtf k, I= 1,2,3. (5.10)
j=i
Умножим теперь (5.7а)
на Ctm и просуммируем по трем возможным значениям /. В силу (5.10) и (5.7а), получим 3 3
Д C1tkCitCtm= C1mk=^bklCln = Ckm. (5.11)
Заменяя в уравнении (5.7а) с'(к через Cki и т. д., получим з
2? = ? k, I= 1,2,3. (5.76) 1=1
Уравнение (5.10) приобретает при этом вид
3
2 cHpu== ^u' з.
(5.10а)
Уравнения (5.76) или (5.10а) вместе с (5.3) определяют группу ортогональных преобразований.
Детерминант преобразования. Исследуем несколько более подробно преобразования (5.3) и (5.76). Детерминант из коэфициентов Ctk
с
с. с
равен Hh 1. Для доказательства этого мы используем правило умножения детерминантов, согласно которому произведение двух детерминантов \attt\ и | bik [ равно детерми.
11 С12 fI8
'21 С22 С28
:31 С82 СВ8 нанту і 2 aii IyUl і • Далее составим детерминанты обеих сто-
I
рон уравнения (5.76):
2 ckicii i=i
(5.12)
Согласно указанному закону умножения детерминантов, для левой части получим [см. также (5.10) и (5.11)]:
3
2 °kfu
U=I
з
I
t=і
= |СиМСНІ =
= \сМси\ = Ы*- (5.13)
Правая часть уравнения (5.12) равна единице, так как
1 0 0
\Кп\= 0 10=1. (5.14)
0 0 1
Отсюда:
IewI= ±1. (5.15)
Значение детерминанта -f-1 соответствует „собственному" вращению, в то время как значение — 1 соответствует ортогональным преобразованиям, сопровождающимся зеркальным отражением.
Сокращенные обозначения. В большинстве уравнений, встречающихся в трехмерном векторном (и тензорном) анализе, каждый буквенный индекс, появляющийся в произведении один раз, может принимать три значения: 1,2, 3, а каждый буквенный индекс, появляющийся в произведении дважды, представляет собой инаекс, по которому производится суммирование. В дальнейшем мы будем всегда опускать знак суммы и все примечания типа (/, к = 1,2, 3). При этом условимся, что:
1) каждый буквенный индекс, встречающийся в произведении один раз, принимает все возможные для него значения; 2) каждый буквенный индекс, встречающийся в произведении дважды, является индексом суммирования, причем суммирование проводится по всем возможным значениям этого индекса.
Например, уравнения (5.3) и (5.6) запишутся следующим образом:
о
Xi ~ cHtxH 4" Xi >
Часто индексы суммирования называются просто немыми индексами. Значение выражения не изменится, если пару немых индексов обозначить другой буквой, например:
eIkxM-cUxI'
Векторы. Закон преобразования Axk, (5.4), является общим законом преобразования векторов относительно ортогональных преобразований. Иначе: вектор определяется как совокупность трех величии, преобразующихся как координатные разности:
а'к = ск,аг (5.16)
Если координаты вектора заданы в некоторой декартовой системе координат, их можно найти и в любой другой системе.
Норма вектора определяется как сумма квадратов его компонент.
Покажем, что норма инвариантна относительно ортогональных преобразований, т. е.
e^i = eA- (5-17)
Подставляя вместо а'к (5.16) и используя уравнения (5.10а), получим:
а'ка'к = сы ai cU aI = iHaiaI=аіаі'
что и доказывает справедливость (5.17) при ортогональных преобразованиях. Скалярное произведение двух векторов определяется как сумма произведений их соответствующих компонент:
(ab )==«,&,. (5.18)
Инвариантность этого выражения относительно ортогональных преобразований доказывается аналогично тому, как это было сделано для (5.17). Норма вектора есть скалярное произведение вектора на самого себя.
Слово скаляр часто употребляется в векторном и тензорном анализе вместо слова инвариант. „Скалярное произведение" означает „инвариантное произведение".
Суммы и разности векторов также являются векторами
ai + b, = S1, )
J h И (5Л9>
ai — b, = dt. J
То, что новые величины Si и dt действительно преобразуются согласно (5.16), следует из линейного и однорядного характера этого закона преобразования.
Произведение вектора на скаляр (инвариант) есть вектор
5- Ui= bt. (5.20)
Доказательство предоставляем читателю.
Обсуждение оставшейся алгебраической векторной операции — векторного произведения будет проведено ниже в этой главе, так как трансформационные свойства векторного произведения не совсем такие же, как у вектора.
Векторный анализ. Теперь можно перейти к простейшим дифференциальным операциям — нахождению градиента и дивергенции. Рассмотрим в трехмерном пространстве скалярное поле V, т. е. функцию трех координат X1, инвариантную относительно преобразований координат. Вид функции V зависит от выбора системы координат, однако значение ее в каждой фиксированной, точке P не меняется при преобразовании координат. Каков будет закон преобразования производных по координатам от функции V
Мы должны выразить производные по х'л через производные по X1
f. (5-22)
dxk Ox4 дХ[
Согласно (5.3), х'к являются линейными функциями от Xi, и наоборот. Поэтому dxjdx,k постоянны и равны коэфи-циентам с'й, определяемым уравнениями (5.5). Отсюда
