Введение в теорию относительности - Бергман П.Г.
Скачать (прямая ссылка):
%=biflkbt, (5.376)
6/ = *аАЛ- (5-386) Эти две векторные плотности ^ и Si преобразуются аналогично обычным векторам, за исключением изменения знака при зеркальном отражении. Такие векторы в векторном исчислении называют „аксиальными" векторами с целью подчеркнуть, что они в некотором смысле связаны с „вращением".
Эти „аксиальные" векторы действительно связаны с вращением. Например, момент количества движения является векторным произведением радиуса-вектора на количество движения (импульс):
г/ = *лАРг (5-45)
Не считая изменения знака при отражении, этот вектор преобразуется как обычный вектор. Предположим, что из всех хл только JC1 отлично от нуля и что р имеет только компоненту pv Тогда момент количества движения имеет только одну компоненту S8. Зеркальное отражение можно произвести тремя различными способами: каждую координату X1 можно заменить на (— Xt), оставляя при этом остальные две координаты неизменными. S?3 остается неизменным при изменении знака jc3 и меняет знак в двух других случаях. Обычный вектор изменил бы знак только при замене xs на (-jtr3).
Обобщение. Мы рассмотрели поведение векторов и тензоров в трехмерном пространстве по отношению к ортогональным преобразованиям. Теперь можно обобщить полученные результаты так, чтобы они могли быть использованы в дальнейшем при рассмотрении интересующих нас вопросов. Это обобщение проведем в два этапа. Во-первых, разовьем наш формализм так, чтобы он был применим к пространству произвольного (целого, положительного) числа измерений; во-вторых, рассмотрим преобразования более общего типа, чем ортогональные.
n-мерное пространство. Первое обобщение совершенно тривиально. Вместо трех координат jc1, jc2, jc8 введем п координат jc1, ..., ха, описывающих я-мерное многооб- разие. Предположим опять, что существует инвариантное расстояние между двумя точками
P = LxiIxlt (5.26)
здесь предполагается суммирование по всем п значениям индекса I. Уравнение (5.26) инвариантно относительно группы «-мерных ортогональных преобразований
о
Xi = CikXk + х'., (5.3а)
где Cik удовлгтворяют условиям
Wh=V <5-106)
Все индексы принимают значения от 1 до я, суммирование также производится от 1 до я. Детерминант | Cab | опять равен Hh 1.
Векторы определяются законами преобразования
а'* = сыа/> (5.16а)
их алгебра и анализ таковы же, как векторные алгебра и анализ в трехмерном пространстве.
Тензоры и тензорные плотности определяются так же, как в трехмерном пространстве, только теперь все индексы пробегают значения от 1 до п. Ьік попрежнему является симметричным тензором.
Тензорная плотность Леви-Чивита определяется следующим образом. iik...s есть тензорная плотность ранга я, антисимметричная по отношению ко всем своим я индексам. Неисчезающие ее компоненты равны +1, их знак зависит от четности или нечетности перестановки (/, k, .. ., s) относительно (1, 2, ..., л). «Векторное произведение" не является более векторной плотностью. С помощью тензорной плотности Леви-Чивита из антисимметричного тензора ранга т(т^п) можно образовать антисимметричную тензорную плотность ранга (я — от). Только при я = 3 тензорная плотность, соответствующая тензору второго ранга („дуальная" ему), является векторной плотностью. Обобщенные преобразования. „Длина" в пространстве Минковского, определяемая по (5.1), имеет вид, отличный от (5.26). Поэтому в дальнейшем мы не будем ограничиваться преобразованиями, оставляющими инвариантным (5.26), а рассмотрим более общие преобразования координат. Сперва может показаться, что мы уклоняемся от нашей основной цели, рассматривая преобразования гораздо более общего типа, чем преобразования Лорентца. Однако эти преобразования нам понадобятся в общей теории относительности; помимо этого, поскольку они во многих отношениях так же просты, как и менее общая группа преобразований Лорентца, мы в дальнейшем будем избавлены от ненужных повторений.
Рассмотрим пространство, в котором введена декартова система координат, так что длина определяется согласно (5.26). Перейдем далее от декартовой системы координат к другой, недекартовой системе. Новые координаты обозначим через S2, ... , (индексы наверху, конечно, не надо путать с показателями степени). Мы имеем тогда:
V=f'(xv ..., *„), 1=1.....п, (5.46)
где п функций /' произвольны; предполагается только, что они нужное число раз дифференцируемы, что якобиан преобразования
I дР det P-
I "хг
нигде не обращается в нуль, и что ? действительны для всех действительных значений Xi, Xi, . . . , Xa.
S2 — квадратичная форма относительно Iixl, вообще говоря, не является квадратичной формой относительно Однако квадрат расстояния между двумя бесконечно близкими точками продолжает оставаться квадратичной формой по отношению к дифференциалам координат. В декартовых координатах бесконечно малое расстояние определяется соотношением
ds* = dxkdxk. (5.47) Дифференциалы dxk выражаются через d*cf следующим образом:
Отсюда видно, что ds2 является квадратичной формой г/2', независимо от выбора системы координат. Это подтверждает, таким образом, что при общих преобразованиях координат роль разностей координат Axi и расстояния s, которыми удобно пользоваться в декартовой системе координат при ортогональных преобразованиях, играют дифференциалы координат d\l и дифференциал расстояния ds.
