Введение в теорию относительности - Бергман П.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Векторы. Рассмотрим, как преобразуются дифференциалы при общем преобразовании координат. Пусть і' и S'' представляют собой два ряда недекартовых координат. Их дифференциалы связаны тогда уравнениями
Дифференциалы преобразованных координат d$" являются линейными однородными функциями от dV-, однако коэфи-циенты преобразования ((??''/<?$') не постоянны, а являются функциями от S'. Их детерминант |d$'a/d$s| также не постоянен. Этими величинами мы воспользуемся для введения геометрического понятия „контравариантного вектора". Контравариантный вектор имеет п компонент, преобразующихся так же, как дифференциалы координат:
(5.48)
(5.49)
(5.50)
(5.51)
Сумма и разность контравариантных векторов, а также произведение контравариантного вектора на скаляр представляют собой контравариантные векторы. Невозможно образовать скалярное произведение только из контравариантных векторов. Чтобы найти в нашем формализме величину, соответствующую скалярному произведению, рассмотрим скалярное поле !/(S1,..., S"). Изменение V при бесконечно малом смещении равно:
bV=VJV, Vtt = %. (5.52)
Левая часть первого соотношения, очевидно, инвариантна. Правая часть имеет вид скалярного произведения; один из множителей является контравариантным вектором второй представляет собой градиент V, т. е. Vyi.
Компоненты градиента V преобразуются по закону
v,t=mv'i- <5-53>
V f является линейной однородной функцией от V г Закон преобразования (5.53) отличается от закона преобразования контравариантного вектора. Мы назовем градиент скалярного поля ковариантным вектором. В общем случае ковариантный вектор определяют как совокупность п величин, преобразующихся согласно закону
, ді!
aI = Wa'' <5-54)
Сумма и разность ковариантных векторов и произведение ковариантного вектора на скаляр также представляют собой ковариантные векторы.
Для того чтобы различать контравариантные и ковариантные векторы, мы будем первые обозначать индексом сверху, а вторые — индексом снизу.
Коэфициеиты преобразования контра- и ковариантных векторов различны, но связаны между собой. Коэфициенты уравнения (5.51) и коэфициенты (<?$'/<?$'') уравнения (5.54) связаны друг с другом системой из ла соотношений где Ьі опять означает символ Кронекера, обозначавшийся ранее через Ьік. В силу (5.55) внутреннее (скалярное) произведение ко- и контравариантного векторов является инвариантом:
Ct1lV1=Ci fil, (5.56)
Рассмотрим случай ортогональных преобразований. Их коэфициенты преобразований Cik удовлетворяют (5.76) и (5.10а). Производные, определяющие в общем случае переход от одних координат к другим, при ортогональном преобразовании равны
дх'{
и так как (5.55) справедливо для любых преобразований, из (5.76) следует, что также
дх{_
(5.57)
Поэтому, если ограничиться ортогональными преобразованиями, различие между контра- и ковариантными векторами исчезает.
Тензоры. Тензоры определяются как совокупность п" величин (компонент) (N — ранг тензора), которые преобразуются относительно каждого своего индекса, как вектор. Оки могут быть ковариантными во всех индексах, контравариантными во всех индексах или смешанными, т.е. в некоторых индексах ковариантными, а в остальных контравариантными. Те индексы, относительно которых тензор контравариантен, ставятся наверху, а те, относительно которых он ковариантен, ставятся внизу. Для иллюстрации этого определения приведем пример смешанного тензора третьего ранга:
Л , дУ дік дї* Свойства симметрии тензоров инвариантны относительно преобразований координат, если речь идет об индексах одного типа (ковариантных или контравариантных). Символ Кронекера является смешанным тензором:
Vi = dIL . = = # (5 59)
* dtm dt'* » d&dV* к 1 '
Произведение двух тензоров рангов M и IV дает тензор ранга (/W-f-ЛГ), причем каждый индекс каждого множителя продолжает оставаться ковариантным или контрава-риантным. Подобно тому как скалярное произведение ко-и контравариантного векторов приводит к скаляру, любые два индекса разного положения (т. е. верхний и нижний) можно использовать для суммирования, и в результате получить тензор на два ранга ниже. Примеры подобных произведений таковы:
<ькп,' <bknv
Если соответствующие компоненты двух тензоров одинакового ранга складываются или вычитаются, их сумма илн разность являются компонентами нового тензора в случае, если оба исходных тензора имеют одинаковое число индексов каждого типа.
Таковы простейшие правила тензорной алгебры. Они показывают, как образуются новые величины, преобразующиеся по законам типа (5.58).
Метрический тензор, римановы пространства. Выражение, входящее в (5.49), Sa=-T^r ПРИ переходе от одной системы S' к другой преобразуется как тензор
дхк дхк_дхк ді' дхк di' .
д?т dV" ~~ Й5' д?т ' дїп ' ¦ 5 0
, = }
^mn д\'т dV ^r"' Другими словами, gu является ковариантным симметричным тензором второго ранга. Он называется метрическим тензором.
Существуют „пространства", в которых невозможно ввести декартову систему координат. Одним двумерных „пространств" такого типа является поверхность сферы. Если в качестве координат ввести широту и долготу (риб, то расстояние между двумя бесконечно близкими точками на поверхности сферы выразится следующим образом через дифференциалы координат:
