Введение в теорию относительности - Бергман П.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Чтобы отличать координаты и тензоры в мире Минковского от координат и тензоров в обычном трехмерном пространстве, условимся относительно некоторых обозначений. Именно, латинские индексы будут относиться к обычному трехмерному пространству и пробегать значения от 1 до 3; греческие индексы — к миру Минковского и пробегать значения ОТ 1 до 4. Векторы и тензоры в мире Минковского мы будем называть „мировыми векторами" и „мировыми тензорами".
Контравариантный метрический тензор имеет компоненты - О, О, О о, О
1 » о, 0, — с«, О о, о, 0, + 1 )
(5.107).
Если коэфициенты преобразования контравариаитных тензоров: Yj определяются условиями (5.106), то коэфициенты преобразования ковариантных тензоров являются решениями уравнений
Для получения явного выражения этих коэфициентов Yj, умножим уравнения преобразования ковариантного вектора
< = Y>p (5.109)
на Tj1P и заменим V9 через TfaV. В результате получим Tftvl=Tffi^,V.
Выражение слева равно и, следовательно, равно ур,г>3, так что
Г= TfllW ¦
Далее в силу произвольности v" приравниваем коэфициенты:
їр, = Гї,Ч>- (5.110).
Наконец, умножая на IpnrJs'' и свертывая, получим
i;=y',f (зли)
Все алгебраические операции обобщенного тензорного исчисления применимы и к мировым тензорам. Детерминант коэфициентов преобразования, как и в случае ортогональных преобразований, принимает только значения +1. Поэтому тензорные плотности с четным весом преобразуются как тензоры, а тензорные плотности с нечетным весом — подобно „аксиальным" векторам трехмерного ортогонального формализма.
Компоненты метрического тензора постоянны; соответственно, символы Кристоффеля равны нулю, и ковариантные производные совпадают с обычными производными. Такие обычные производные мы будем обозначать запятой:
Теперь покажем, как коэфициенты преобразования Лорентца связаны с относительной скоростью двух систем координат: S и S* При равномерном и прямолинейном движении точки скорость ее определяется отношениями разностей координат любых двух мировых точек, лежащих на ее траектории:
Скорость системы S относительно 5* есть скорость относительно S* частицы Pt покоящейся в системе S. В системе S первые три координатные разности частицы Р, Ax1 равны дулю. Поэтому разности координат в системе S* равны:
Следовательно, скорость 5 относительно S* будет равна:
С другой стороны, можно найти скорость S* относительно S, используя коэфициенты „обратного" преобразования Y*. определяемые уравнениями (5.108). Поскольку эти последние являются коэфициентами преобразования S* —> 5,
(5.113)
(5.114) согласно (5.114), можно написать
7 '
V'=—4. (5.115)
fi
Используя уравнения (5.111), (5.100) и (5.107), правую часть можно записать в виде
ve = — (5.116)
Г*
Далее легко показать, что г>*' равно Vі. Образуем сперва трехмері (5.114):
трехмерную норму вектора v*1, определяемого уравнением
3 ( уМ'
г-«= VlJLiL
В силу (5.106) для числителя можно написать
? (Tj)*=* [(Y44)'- І], i=i
откуда найдем
""=^jWl- <5Л17>
Таким же образом преобразуем уравнение (5.116), имеем:
l = f4 V^ 2а(т*
Аналогично получаем а
EW=JT [(YVs-1J /=1
(itf
(5.118) Отсюда мы видим, что Y44 всегда определяется выражением
Y4)
1
(5.119)
у 1 — V2Ic2 '
Траектории, мировые линии. Обычно движение частицы вдоль траектории описывается заданием функциональной зависимости ее трех пространственных координат от времени/:
В теории относительности такой способ описания можно применять с таким же успехом, как и в нерелятивистской физике. Однако часто бывает удобно выбрать такой способ описания, при котором временная координата не играет обособленной роли по отношению к пространственным, как это имеет место в (5.120) и (5.121).
Движение точечной массы в мире Минковского изображается так называемой „мировой линией", которую лучше всего описывать в параметрическом представлении
где р — произвольный параметр, определенный вдоль мировой линии. Такое параметрическое описание обычно употребляется в аналитической геометрии.
В трехмерной геометрии в качестве параметра р часто выбирают длину дуги. В мире Минковского таким параметром удобно считать собственное время т вдоль мировой линии. Так же как длина дуги 5 в обычной геометрии определяется линейным интегралом
(5.121)
(5.120)
(5.122)
Р, _
S = ^ Vdx2 -f dy2 4- dz2, Р, т представляется интегралом дифференциала dx вдоль мировой линии частицы
= J KvSSF = J /^Ffdt. (5.,23)
Поэтому траекторию можно описывать уравнениями вида
X^=Fv-(X), (5.124)
где т связано с Xv- дифференциальным уравнением. Деля подинтегральное выражение в (5.123) на dt и учитывая (5.121), получим
S-/ -^1(S)'- Z1-S-
(5.125)
Обычное описание скорости тела с помощью (5.120) и (5.121) при четырехмерном описании заменяется рассмотрением направления мировой линии. Если тело покоится, эта линия параллельна оси Xі. При движении тела мировая линия будет направлена под углом к оси X*. Ее направление можно описывать при помощи касательного вектора
