Введение в теорию относительности - Бергман П.Г.
Скачать (прямая ссылка):
векторное произведение а и Ь.
наложением условия, что векторы а, Ь и P должны образовывать ,винт" того же направления, что и оси координат, взятые в последовательности х, у, г. На фиг. 6 этому условию удовлетворяет вектор P1 в силу того, что мы выбрали ,правую* систему координат. Если произвести зеркальное отражение (например изменить направление оси X на фиг. 6 на обратное), то P2 автоматически станет векторным произведением а и Ь.
Таким образом, векторное произведение не является обычиым вектором, так как око меняет знак при переходе от правой системы координат к левой, и наоборот. Такие величины называются ,аксиальными векторами*, в то время как обычные векторы называются ,полярными векторами".
В декартовой системе координат компоненты P имеют следующий вид:
Pi = ^b1-atbs, > (5.37)
ps = aA — «А- ' Аналогично ротор векторного поля Vi определяется, -как ,аксиальный вектор" с компонентами
= Ущ, 2 ^2, 8' I Ci=Vut-Vitv [ (5.38)
C3=V2il-Vb2. )
С точки зрения тензорного анализа можно избежать понятия ,аксиального вектора", представляя векторное произведение и ротор как антисимметричные тензоры второго ранга
Л* = «А —eA (5.37а)
и
Ctk=Vkti-Vhk. (5.38а)
Можно показать, что все уравнения, в которые входят ,аксиальные векторы", могут быть записаны ковариант-ным образом с помощью таких антисимметричных тензоров. Однако такая трактовка недостаточно ясно показывает связь между законами преобразования антисимметричного тензора второго ранга и ,аксиального вектора*. В то же время, вводя наряду с понятием тензора новое понятие ,тензорной плотности" 1J1 мы попрежнему можем пользоваться методами обычного векторного анализа.
Тензорные плотности преобразуются так же, как обычные тензоры, с той лишь разницей, что они умножаются еще на детерминант преобразования (5.15). Пока этот детерминант равен —J— 1, т. е. пока мы имеем ,собственно
!) В русской литературе вместо термина ,тензорная плотность" в случае ортогональных преобразований часто пользуются термином ,псевдотензор". (Прим. ред.) ортогональное преобразование" без отражений, не существует разницы между тензорами и тензорными плотностями. Однако при зеркальном отражении происходит изменение знака тензорных плотностей по сравнению со знаком тензоров. Таким образом, тензорные плотности находятся в таком же отношении к обычным тензорам, как „аксиальные векторы" к „полярным векторам". Их закон преобразования может быть записан в виде:
= -Uab^ik.... (5.39)
Для них законы алгебры и анализа таковы: сумма или разность тензорных плотностей одинакового ранга является тензорной плотностью того же ранга. Произведение тензора на тензорную плотность является тензорной плотностью. Произведение двух тензорных плотностей дает тензор.. Свертывание тензорной плотности приводит к новой тензорной плотности низшего ранга. Производные компонент тензорной плотности являются компонентами новой тензорной плотности, ранг которой на 1 выше ранга первоначальной тензорной плотности.
Тензорная плотность Леви-Чивита. Мы уже видели, что символ Кронекера представляет собой тензор, компоненты которого имеют одно и то же постоянное значение в любой системе координат. Точно так же существует постоянная тензорная плотность третьего ранга, тензорная плотность Леви-Чивита, определяемая следующим образом. Тензорная плотность Ьш антисимметрична относительно всех трех индексов; поэтому все ее компоненты, имеющие по крайней мере два одинаковых индекса, равны нулю. Ее неисчезающие компоненты равны rb 1 > в зависимости от того, является ли (/,&,/) четной или нечетной перестановкой тройки чисел (1, 2, 3).
Мы должны еще показать, что компоненты $ш действительно являются компонентами тензорной плотности. Для этого рассмотрим тензорную плотность Dlkv компо- ненты которой в одной из систем координат будут равны ЬікГ. Если окажется, что и в другой системе координат ее компонентами опять будут biki, наше утверждение будет доказано.
Найдем компоненты Dikl в новой системе координат:
d^= Kft I W^Ah- (5-4°)
Поскольку при преобразовании координат антисимметрия сохраняется, все компоненты D' , по крайней мере с двумя одинаковыми индексами, исчезают. Поэтому выпишем только те компоненты, у которых все три индекса различны. Компонента Dj23 равна:
dIB = I c^IcIZMc8AW- (5-41)
Правая часть представляет собой просто квадрат \саЬ \ и равна единице, так как по определению Biki выражение CjiC2kCsl^lkI является детерминантом \cah\.
Зная, что Dj23 равно единице, остальные компоненты легко получить из свойств симметрии:
Ц* = D'm = D'm=~D'm--=-Dm = (5-42)
Таким образом, D' равны Smns, что и требовалось доказать.
Векторное произведение и ротор. С помощью тензорной плотности Леви-Чивита можно антисимметричный тензор второго ранга поставить в соответствие с векторной плотностью, так что
Щ= J ^tflfU- (5.43)
Отсюда
wH=s^mi- (5-44)
Применяя уравнение (5.43) к векторному произведению и ротору, определенными соответственно соотношениями (5.37) и (5.38), получим:
