Введение в теорию относительности - Бергман П.Г.
Скачать (прямая ссылка):
Дифференциальные уравнения (5.99) можно получить не только из вариационного интеграла (5.93), так как любой вариационный интеграл
4(ь? я* <б-б,>
р,
имеет вариацию
P1
т е. приводит к тем же уравнениям геодезических линий.
В нашем случае в качестве лагранжиана можно использовать любую функцию
Aw = Ф (TiixA-"*"). (6.62)
лри этом импульсы определяются как
TTp = 2^*^'(I)li *•'*«'), (6.63)
где Ф' — производная Ф по ее аргументу. Эти величины пр идентичны импульсам (6.56), если
Ф'(1 ) = —-2-А (6.64)
Таким же образом в качестве гамильтониана можно использовать любую функцию импульсов вида
//W = Jf(t1nhlhll). (6.65)Уравнениями, связывающими импульсы и скорости, будут: Wt)
Xt" = ^- = 2^ ^X'. (6.66) Величины Tlf идентичны С Pf, если
^0) = -55?- <6"67>
Сила в релятивистской механике. Сила, действующая на ускоренно движущуюся точечную массу, может быть определена различными способами. Можно просто воспользоваться классическим определением и определять силу как производную импульса по времени:
/,= </—«L=V a' = *'**. (6.68)
(7?)'
Производя дифференцирование в правой части, получим весьма громоздкое выражение:
/,= (і ш [а„ (і -S) +г* ]*. (6.69)
Определенная таким образом сила, вообще говоря, не параллельна ускорению. Она параллельна ускорению только в тех случаях, когда последнее параллельно или перпендикулярно скорости. Когда ускорение параллельно скорости, (6.69) принимает вид:
л= О-S Г''m^s- <6-70>
Если же сила и скорость перпендикулярны друг другу, из (6.69) получаем:
/.= (i-?)_,/W. (6.71)
Коэфициенты при ускорении в правых частях (6.70) и (6.71) иногда называют соответственно „продольной массой* и „поперечной массой".Сила fs, определяемая формулой (6.68), не обладает простыми трансформационными свойствами. Однако существует мировой вектор, являющийся близким аналогом трехмерной силы. Определим „мировую силу" как производную импульса по собственному времени:
dp.
fP = TFp- <6-72>
Первые три ее компоненты равны выражениям (6.68), умно-dt
женным на -j-,
и1 1 t а2\5
-"Sr "(1-?)
и
При малых значениях — эти выражения стремятся к тх .
Четвертая ее компонента равна
„ тии
V с2/
При малых Y ее значение приближается к величине работы, совершаемой за единицу времени, взятой с обратным знаком. Она равна сумме произведений трех первых компонент на xf-, взятой со знаком минус.
Задача
1. Исходя из лагранжиана (6.62), определить соответствующий гамильтониан. Показать, что уравнение (6.67) удовлетворяется, если гамильтониан получается из лагранжиана, удовлетворяющего уравнению (6.64).
2. Возбужденный атом с общей массой М, покоящийся в некоторой инерциальной системе, переходит в низшее энергетическое состояние, уменьшая свою энергию на AW. Он излучает фотон, испытывая при этом отдачу. ПоэтомуIW
частота фотона будет меньше, чем v = —^—. Найти эту частоту. Ответ.
_ДГЛ 1 AIP \ V— ft \ 2 AfcV'
3. Показать, что интеграл „релятивистской силы" (6.68) вдоль трехмерного пути равен изменению релятивистской кинетической энергии (6.20) и что интеграл мирового вектора (6.72) вдоль мировой линии dxt исчезает, если предположить, что масса покоя остается неизменной. Что произойдет, если масса покоя меняется во время движения?Глава VIl
?
РЕЛЯТИВИСТСКАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА
Когда Эйнштейном были получены законы преобразования уравнений Максвелла, четырехмерный формализм Минковского еще не был известен. Эйнштейн 1J выражал производные, встречающиеся в уравнениях Максвелла, в новых координатах, связанных со старыми преобразованиями Лорентца. Исходя из принципа относительности, он потребовал, чтобы уравнения электродинамики имели в новой системе координат тот же вид, что и в старой. Поэтому он отождествлял линейные комбинации напряженностей полей, получающиеся после преобразований уравнений Максвелла, с напряженностями полей в новых координатах. Им было показано, что полученные таким образом законы преобразования обладают требуемыми свойствами, именно, что два последовательных преобразования эквивалентны одному преобразованию того же типа, и что обратное преобразование получается при изменении знака относительной скорости двух систем координат.
Однако такое непосредственное построение довольно громоздко. Мы пойдем несколько отличным путем, используя преимущества четырехмерного формализма, развитого в главе V.
Уравнения электромагнитного поля Максвелла. Мы
всюду будем пользоваться электростатической системой единиц. Далее мы будем исходить из электронной теории Лорентца, согласно которой уравнения поля в пустоте
1) Цитированнная работа Эйнштейна, так же как другие основные оригинальные работы по теории относительности, собраны в сборнике ,Принцип относительности«, ОНТИ (1935). (Hjium. ред.)(т. е. когда диэлектрическая постоянная и магнитная восприимчивость равны единице) справедливы также и в материальной среде, причем поляризация и намагничение этой среды являются результатом смещения реальных зарядов и частичной ориентации элементарных магнитиков. Уравнения Максвелла записываются тогда следующим образом: