Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.
Скачать (прямая ссылка):
Эти рассуждения показывают в то же время, что расходящиеся члены должны сократиться при вычислении сечения рассеяния, в котором фаза амплитуды несущественна. Простейший путь корректного проведения вычислений состоит в том, чтобы рассмотреть сначала рассеяние в экранированном кулоновом поле, т. е. положить
с малой константой экранирования б (6<^|р|). Тем самым устраняется расходимость в амплитуде рассеяния, а в окончательном ответе для сечения уже можно положить 6 = 0.
Подставив (121,9) в (121,7), получим
(121,8)
/ (9) exp ( — t In j р I г ) .
(121,9)
MjV =— |-Z2a2M(/j') [(v°e + m) A + yJJm (/>),
586 РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ [Гл. XII
где введены обозначения:
J — Г__________________*1_________________
1 J l(P'—f)2+t>2] i(f—Р)2+62] [р3—f2+/0] '
, _(*__________________№/___________________Р + Р' г
J 1(р' —f)2+62] l(f—р)2+б2] [ра— f2_]_(0) 2
Здесь р2 = е2— т2 = р'2 и интеграл J симметричен по отношению к р и р'; из соображений векторной симметрии заранее очевидно, что вектор J должен быть направлен вдоль р + р'. Исключив теперь матрицы у с помощью равенств
ури = (у°е — т) и,
и'ур' = и' (у°е — т),
получим
М}!> = Z2a2u(p') [у°в (/, + J2) + tn (Jt - /2)] и (р). (121,11)
Для проведения дальнейших вычислений перейдем (как и в § 80) от биспинорных амплитуд и и и' к соответствующим им (согласно (23,9) и (23,11)) трехмерным спинорам w и w'. Прямым перемножением находим
u'u — w'*{(e,-\-m) — (е — т) cos 0 -f- iva (е — пг) sin 0} w,
и'у°и = w'* {(е + tn) + (e — tn) cos 0 — iva (e — tn) sin 0} w,
где
fnn'J p , p' nr
v = sinir’ n==jp|* n =TpT’ cos6=nn-
После этого амплитуда (121,11) представится в виде1)
М(Р = 4nw'* (Л(2) + В{2) va) w,
Л(8) =—~ Z2a2 j [(е + т) + (е — tn) cos 0] e + J2) +
+ [(е + т) — (е — т) cos 0] т (/j — У2)}, (121,12)
5<?> ^ Z2“2 (8 ~ m) sin 0[8 + J2)~m (h — Л)]-
Амплитуда же рассеяния первого приближения в аналогичных обозначениях имеет вид
Mft = 4nw'* (Л(1> + 5(1> va) ш,
ЛЦ) =-^r[(e + m) + (e — m)cos0], (121,13)
?U> = — i _pL (e _ /n)sin 0,
где q = p'~p.
1) Определение величин А и В здесь соответствует определению в § 37 и в III, § 140 и отличается множителем от определения в § 80.
doV=—do' ^аЧ-
0
я2р2 sin2 —
§121] РАССЕЯНИЕ ВО ВТОРОМ БОРНОВСКОМ ПРИБЛИЖЕНИИ 587
Сечение рассеяния и поляризационные эффекты выражаются через величины А = Л(1) + А{2) и В = Ва)-\-Вт формулами, полученными в III, § 140. Так, сечение рассеяния неполяризованных электронов:
da = (\A\2 + \B |2) do' ж da^ + 2 (А(1> Re А(2> - iS(1> Im S'2') do'. После подстановки (121,12—13) простое вычисление дает
1— v? sin2-|-j Re(/1 + ^2)+^VRe(/1—/2)J ,
(121,14)
где v = р/е — скорость электрона, 0 —угол рассеяния. В результате рассеяния электроны поляризуются, вектор поляризации конечных электронов
2 Re (AB*) __2 (ЛЧ> Re В<2> — iB^ Im Л(2>)
* — | A |2 + | В p V~ | л*1» |2+| |2 V
или, после подстановки (121,12—13),
. з e 0 , Sin3 -jr- COS -jr-
^----flm^-^v. (121,15)
ПЬ 1 —y2 sin2 ~
Перейдем к вычислению интегралов Jl и /2. Оно облегчается применением метода параметризации по формуле (131,2). Интеграл Ji принимает вид
Т =_о Г Г Г С__________<pf dil dfe2 dj3-6 (1—— ?a —?3)______
1 J J J J {[(P'-f)2+62] |1 + [(p_f)*+6*] |2 + [f2-P2-iO] Ы3 •
0 0 0
Интегрирование no d\3 устраняет 6-функцию; приводя подобные члены в знаменателе, получим
1 i-ь
т = о Г Г Г___________________________________________*f dli dg,_
1 J J J {62(|i + y + p2(2gi + 2|2 —1)—2f(?lP' + ioP) + f2—Юр •
о о
Введя вместо f новую переменную k = f — ?xp'—E,p, сведем интегрирование no d3f к интегралу вида
d3k
588
РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ
[Гл. XII
Вместо ^ и ?а вводим симметричные комбинации: д: = |1 + |2, у~sij—|а. Интегрирование по dy (в пределах от 0 до ^элементарно и дает
Ji
х dx
('л2 Г _________
2IPl3j ^,v2_2x+l— -~Х — го] jjl — х)2— — ;0
где
?i±PPl
2р2
S 0
: COS •
Для вычисления интеграла по dx при б —> 0 разбиваем область интегрирования на две части:
1 i-e, 1
J ... dx = J ... dx -f J ... dx, 1
6
В первом интеграле можно положить 6 = 0; тогда1) i-б,
dx--
1
-In
О-*)2
|i-6i
2 (1 —b) (bx2 —2x+ 1 — i'0) |o
2(1-6)
In
• in
Во втором же интеграле можно положить х= 1 везде, кроме члена (1— х)2, а также положить 6 = 0 в первой скобке в знаменателе. Тогда2)
I "'dx~ i-J
-в» О [Х р2 Ш)
6, 6/| Р.
Г dx' | • Г ^х>
l — b
При сложении обоих интегралов величина 6^ как и следовало, выпадает, и получается
л =
2 | р |3 sin5
0
¦In
2 | р I . 0
—LC1 ctn — 6 2
(121,16)
!) Правило обхода (член i0) позволяет определить изменение аргумента выражения под знаком логарифма при переходе от 0 к 1 — бх: при обходе точки ветвления снизу аргумент меняется от 0 до — я.
И здесь правило обхода определяет знак корня при переходе от положительных к отрицательным значениям подкоренного выражения.
$ 122] РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ К РАССЕЯНИЮ 589
Интеграл J2 вычисляется аналогичным образом и равен я3 ( 1 —sin-^-] ^
j2==jl--------V------------------------TlnsinT- (121-17)
4 | р j3 cos2-^- sin-g- 2 | р |3 cos2-g-
Остается подставить эти выражения в (121,14—15), и мы получим окончательные результаты:
