Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.
Скачать (прямая ссылка):
о
Теперь внутренний интеграл легко вычисляется в сферических координатах с полярной осью вдоль вектора рх + р' (1 —х), после чего
1 1
. _ Г__________4я dx_____________Г*__________4лdx_________
~~ J (всо)2 —[рх+р'(1—x)]2 ka — J [m2 + q2Jc(l— х)] к3+е2А.а‘
о о
Два других интеграла (с (pk)г- и (p’kf в знаменателях) получаются отсюда при q = 0. Заметив также, что
рр' = е2 — pp' = т3 + у Ч?г
582
РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ
[Гл. XII
получим
da = ^ L Т ( m2 + q2/2____________jn*\
11 J J V к2 +А,2 1 [m2 + q2x (1 —х)] ка+ егА,2 m2k2-fe2Я,2|•
оо
(120,10)
Интегрирование по d | к | сводится к вычислению интегралов вида
“max
k2rf I k I
(ak2 + A,2) |^k2 -f A,2
“max ®maic
_ _L Г rf|k| A,2 f rf|k
~ a J /FTX2 a J
/k2 + A,2 a J (flka + ^2) V№ + №
J_ jj^ ^max_____________j_ Г
a X a .}
J (az2+l) /г2 + Г
Во втором интеграле подставлено J к | —>-кг и верхний предел (сотахА) заменен на оо, что допустимо ввиду сходимости интеграла.
Возникающие затем интегралы по dx в (120,10) не могут быть полностью выражены через элементарные функции. Результат представим в виде
da = а
где1)
dOynp, (120,11)
(120,12)
г®"|-[ё||Щ|п<1 + П- + 1)-1 F, =-^-|nS+l?i-gg!+i! {—Л=\п '+ V,~a, (120,13)
1 л I р| m яе2 j a yf \ — a ya ' >
0
а = 7г [m* + c?x{\ — *)]•
Найдем асимптотическое выражение для сечения в ультрарелятивистском случае. При этом предполагается, что не только е^>т, но и |q|^>m, т. е. угол рассеяния не слишком мал. В этих условиях в интеграле (120,13) существенна область зна-
!) Функция F (?) уже встречалась нам в задачах к § 98. Это неудивительно, так как с логарифмической точностью (120,11) можно получить, интегрируя сечение испускания фотонов нулевой массы (98,8) по da> в пределах от А до сотах. Если ввести вместо ? переменную 0 согласно ? = sh(0/2), то
F(0)=l.(0cth0—1). (120,12а)
§ 121]
РАССЕЯНИЕ ВО ВТОРОМ БОРЦОВСКОМ ПРИБЛИЖЕНИИ
583
чений х, в которой а<^. 1; после соответствующих пренебрежений
F
ri
Интеграл надо обрезать при а~ 1, т. е. при x~m2/'q^ снизу и при 1— x~m2/q2 сверху. Тогда
2д
In3 ~ — 4 In — 1пД: tn2 т т1
Эта формула справедлива с точностью до квадратов логарифмов, как говорят, с дважды логарифмической точностью. С этой же точностью достаточно положить в первом члене в (120,11)
Окончательно
do
=5? final
д I т2
In
F(g)»?lng (|>1).
¦In— 1п^ + ~1п8^тг1 do,nb, q2^>т2.
m m2 1 4 тг inP’ M ^
(120,14)
§ 121. Рассеяние электрона во внешнем поле во втором борновском приближении
В первых двух приближениях по внешнему полю рассеяние электрона изображается диаграммами
м(1)
Р
(121,1)
Первой из них отвечает амплитуда М(1) ~ Ze2, рассмотренная в § 80. Амплитуда же второго приближения УИ(2) ~ (Ze2)2.
Легко видеть, что члены такого же порядка величины возникают и от радиационных поправок. В третьем порядке теории возмущений радиационные поправки к амплитуде рассеяния
584
РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ
[Гл. XII
изображаются диаграммами
(121,2)
При этом Л1(3) ~ Ze?-e2, и если Z~ 1, то Л1<?)~ М1-К Согласно (64,26) сечение рассеяния
fo = \MW + Mf + Mf^2L. (121,3)
В стоящем здесь квадрате амплитуды мы имеем право сохранить, наряду с 1м};* |2, также и интерференционные члены между М$ и и между М$ и М(ц . Таким образом, с точностью до членов ~ев сечение представится суммой
da = da^ + do^ + davaA, (121,4)
где da{1) — сечение в первом борновском приближении (§ 80), а поправки к нему
da<?> =2R еМ^Р*^,
7 (121-5)
Напомним (§ 80), что
^) = |е|(й'Т°и)Ф(Ч), (121,6)
где CD(q) — компонента Фурье скалярного потенциала постоянного внешнего поля (Ф==Л{,е)) и учтено, что заряд электрона е = — \е\.
Два выражения (121,5) могут, очевидно, вычисляться независимо. Первое будет рассмотрено в этом, а второе—в следующем параграфе.
Амплитуда второго приближения, построенная по диаграмме
(121,1), дается интегралом1)
м<2> = - в? J {й (р')у° jSifm У°и Ц ф (р' - *)ф (* -р) •
________________ (121,7)
J) Напомним, что здесь надо пользоваться правилом диаграммной техники, относящимся к постоянному внешнему полю—см. сформулированное в § 77 правило 8.
5 121]
РАССЕЯНИЕ ВО ВТОРОМ БОРНОВСК.ОМ ПРИБЛИЖЕНИИ
585
«4-импульсы» внешнего постоянного поля ql = f — p и q2 = p'—f не имеют временных компонент. Поэтому
где е и е' — начальная и конечная энергии электрона, совпадающие друг с другом при упругом рассеянии.
В чисто кулоновом поле неподвижного заряда Z |е|:
Для такого потенциала интеграл (121,7) логарифмически расходится (при f»р и f«p'). Эта расходимость специфична для кулонова поля и связана с медленностью его убывания на больших расстояниях. Ее происхождение легче всего уяснить на примере нерелятивистского случая. Согласно III (135,8) коэффициент при сферической волне exp (г | р | г)/г в асимптотическом выражении волновой функции электрона в кулоновом поле имеет вид
Но этот коэффициент и является амплитудой рассеяния электрона в поле, и мы видим, что ее фаза содержит расходящийся (при г —* оо) член. При разложении амплитуды рассеяния по степеням Za этот член приведет к расходимости всех членов разложения, начиная со второго (так как сама функция /(0) пропорциональна Za). Ситуация в релятивистском случае имеет, разумеется, аналогичный характер.
