Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.
Скачать (прямая ссылка):
DU)=0, (119,12)
между тем как формула (119,9) получена в калибровке
DU) = D. (119,13)
Это свойство калибровки (119,12) делает ее особенно удобной для исследования характера теории при р2^>т2, что и будет использовано ниже в § 132.
Для доказательства сделанного утверждения замечаем, что если мы интересуемся только членами ~ е2, то преобразование от калибровки (119,13) к калибровке (119,12) можно считать бесконечно малым. Соответственно этому можно прямо воспользоваться формулой (105,14), положив в ней
da)(q) = -i" 4я
q2 ((?2)2 >
а также заменив, с требуемой точностью, функции g в подынтегральном выражении на G. В интеграле по dlq будет существенна область q^> р\ при этом G(p — q) в подынтегральном выражении много меньше, чем G (р), и им можно пренебречь. Тогда
6s-i = — G-2 (р) SS (р) = - ie2G"1 (р) j d«> (q) .
Наконец, применив преобразование (131,11 —12), получим
«-W —nf,
где Л —вспомогательный верхний предел, расходимость на котором устраняется перенормировкой. Последняя состоит в вычитании того же выражения при р2 « т2, так что окончательно имеем
№~х = i_7P In ~2 ¦
4я т2
Эго выражение как раз сокращается с разностью 'S~i — G~l из
(119,11).
Наконец, остановимся на вопросе о причинах, приводящих к необходимости введения конечной «массы фотона» Я при регуляризации интеграла (119,2), тесно связанной с его поведением при р2 —т2.
Прежде всего отметим, что сам по себе этот интеграл с Я = 0 конечен при р2==т? (для устранения несущественной в данном
§ 119] ВЫЧИСЛЕНИЕ МАССОВОГО ОПЕРАТОРА 577
аспекте расходимости на больших k полагаем при этом, что интеграл берется по большой, но конечной области ^-пространства). Необходимость же введения к возникает при вычитании перенор-мировочного интеграла, который без этого расходился бы при р2 — т2. Выясним поэтому, как вел бы себя при р2->-т2 нерегу-ляризованный массовый оператор. Поскольку же это поведение существенно зависит от выбора калибровки, то рассмотрим общий случай произвольной калибровки (между тем как интеграл (119,2) написан уже при определенном выборе — (119,13)).
Воспользуемся снова преобразованием (105,14). Представив dU) в виде
= (119,14)
будем считать, что 6а —вариация функции a(q2), существенно меняющейся лишь на интервалах q2 ~ т? и конечной при q2« т2. В подынтегральном выражении в правой стороне (105,14) в разности 3 (р) —$ (p — q) при малых q оба члена близки и интеграл сходится. Поскольку при малых q
$(p — q)~ pt—mi —2pq >
то % (p — q) можно опустить по сравнению с % (р) при q (р2—т2)/т. Интеграл же
63 (р) = Ш (р) J fo) ^ ? S (р) J 6а (<?•) dJ=p
логарифмически расходится в области С логарифмической точностью имеем поэтому
6$ к t 2\ 1 ¦= — к-6а (m2) In
<§ 2л v > р2 — т2 ’
Это равенство можно проинтегрировать. Заметив, что при a == е2 —> 0 точный пропагатор $ должен совпадать с пропагато-ром свободных частиц G, получим
ОС
»<Р) = т7=^(?^.)г“ . (49,15)
где a0 — a(m2), а С —некоторая постоянная. Для определения последней сравним выражение
$-Цр)^(ур-т)[1 +i(C-e,)lnp , (119,16)
578
РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ
[Гл. XII
получающееся из (119,15) в первом приближении по а, с аналогичным выражением, получающимся из интеграла (119,2) при
Согласно определению (119,14) функция a(q2) совпадает с отношением Dil)/D. Поэтому калибровка (119,13), к которой относится
(119.17), отвечает а = а0 = 1. Потребовав совпадения (119,16) и
(119.17) при этом значении а0, получим С = 3.
Таким образом, окончательно находим следующее предельное выражение (инфракрасную асимптотику) неперенормированного электронного пропагатора при р2 —/я2:
(Л. А. Абрикосов, 1955). Подчеркнем, что справедливость этой формулы связана лишь с неравенствами а<^1, |1пр|^>1, между тем как формулы теории возмущений требовали бы также и условия а | In р | /2л 1. Отметим также, что знак разности р2 — т2 здесь
не существен, так как мнимая часть выражения (119,18) все равно находилась бы за пределами его точности.
Перенормированный пропагатор должен иметь при р° = т2 простой полюс. Мы видим, что (119,18) удовлетворяет этому требованию только в калибровке, в которой
(так что ^ = 3). В этом случае регуляризация интеграла Фейнмана (имеющая целью устранить его расходимость на верхних пределах) не будет требовать введения конечной «массы фотона». В других же калибровках нулевая масса фотона приводит к возникновению при р2 = т2 точки ветвления вместо простого полюса, и устранение этого «дефекта» требует введения конечного параметра К.
§ 120. Испускание мягких фотонов с ненулевой массой
При вычислении электронных формфакторов в § 117 мы столкнулись с расходимостью интегралов на малых частотах виртуальных фотонов. Эта расходимость тесно связана с обсуждавшейся уже в § 98 инфракрасной катастрофой. Там было указано,
1) Чтобы получить (119,17), нет необходимости производить вычисления
заново. Член <~1пр в (119,9) как раз и получен в предположении допускающем переход К—>-0. Член же <—• In (к/т) возникает из-за вычитания перенормировочного интеграла и в исходном интеграле (119,2) отсутствует. Это вычитание не затрагивает, как легко видеть, членов -~1пр.
