Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.
Скачать (прямая ссылка):
Я = 01):
3~l{p) = iyp — tn) 1+^lnp . (119,17)
(119,18)
?><*> = 3D
(119,19)
§ 1201
ИСПУСКАНИЕ мягких ФОТОНОВ
579
что сечение любого процесса с участием заряженных частиц (в том числе рассеяния электрона внешним полем, изображаемого диаграммой вида (117,1)) не имеет смысла само по себе, а лишь при учете одновременного излучения любого числа мягких фотонов. Как будет подробно объяснено ниже (§ 122), в суммарном сечении, учитывающем излучение мягких квантов, все расходимости сокращаются. При этом, разумеется, для получения правильного результата предварительное «обрезание» расходящихся интегралов во всех складываемых сечениях должно производиться одинаковым образом.
В § 117 это обрезание было осуществлено путем введения фиктивной конечной массы виртуального фотона Я. Поэтому мы должны теперь видоизменить и полученные в § 98 формулы так, чтобы они описывали излучение мягких «фотонов» с ненулевой массой.
С формальной точки зрения такой фотон относится к «векторным» частицам со спином 1, свободное поле которых рассматривалось в § 14. Оно описывается 4-векторным г|>оператором
^=V~^-'^r^=={c^ae^)e-ikx + c^e{^*eikx), а = 1, 2, 3 (120,1)
ка К2ш
(здесь изменены обозначения и нормировка по сравнению с (14,16) с целью приведения в соответствие с фотонным случаем).
Взаимодействие «фотонов» (120,1) с электронами надо описывать лагранжианом того же вида, что и для истинных фотонов:
-еГ% (120,2)
(с заменой операторов потенциала Лц на г^). Тогда амплитуды
процессов испускания фотонов конечной массы будут даваться
обычными формулами диаграммной техники, с тем лишь отличием, что
k2 = l2. (120,3)
Суммирование же по поляризациям испущенного фотона должно будет производиться по трем независимым поляризациям (двум поперечным и одной продольной) вместо двух у обычного фотона. Это эквивалентно усреднению по матрице плотности неполяризо-ванных частиц
Piiv=-j(gMv—(120,4)
(ср. (14,15)) с последующим умножением на 3.
• Пропагатор «фотонов с ненулевой массой»
Г) _ __4л_ ! __\
U4V~ ?2—Jl2 ^2 J
5SQ
РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ
[Гл. XII
(ер. (76,18)). Однако в силу калибровочной инвариантности амплитуды реальных процессов рассеяния не зависят от продольной части фотонного пропагатора, и это свойство не связано с конкретным видом его поперечной части. Поэтому второй член в скобках фактически выпадает, и остается выражение того же типа, что и для обычных фотонов:
(120,5)
(которым мы и пользовались в §§ 117, 119).
Обратимся теперь к изучению мягких (в объясненном в § 98 смысле) фотонов.
Произведенный в § 98 вывод формул (98,5—6) переносится на рассматриваемый случай с тем лишь изменением, что при раскрытии квадратов (р + k)2 в знаменателях электронных пропага-торов прибавляется член к1 ~ В результате вместо (98,6) получим
da = dcrynp • <?8
где dcrynp — сечение того же процесса без излучения мягкого кванта (который называем условно «упругим» процессом). В дальнейшем при интегрированиях по d3k будут существенны значения | к | ~ К. При этом pk^pk^W, так что членами № в знаменателях можно пренебречь. Суммирование по поляризациям фотона осуществляется, как указано, с помощью (120,4). После сделанного пренебрежения второй член в (120,4) не дает вклада в сечение, и остается2)
= j-jjL. (120,6)
Таким образом, мы возвращаемся к формуле (98,7), в которой, однако, надо понимать теперь со как
со = "|/'кг+ Я2. (120,7)
Формула (120,6) имеет совершенно общий характер. Она применима как при упругом, так и при неупругом рассеянии и даже при изменении сорта частиц. Результат же дальнейшего интегрирования по d?k зависит от 4-векторов р и р', иными словами, ОТ характера основного процесса рассеяния.
Рассмотрим случай упругого рассеяния, когда
_________________ IP| = |P'|. 6=s;6'’
х) На первый взгляд могло бы возникнуть сомнение в допустимости пренебрежения А,2 до усреднения ввиду наличия № в знаменателе второго члена в (120,4). Легко, однако, непосредственно убедиться в том, что этот член при усреднении дает вклад —А,4>Я-2, которым можно пренебречь.
ре
ре
p'k+ №/2 pk—№/2
1 (Pk
4л,2со
$ 120] ИСПУСКАНИЕ МЯГКИХ ФОТОНОВ 681
и определим полную вероятность испускания фотонов с частотой, меньшей некоторого сотах; при этом предполагается, что
(120,8)
а сверху значение сотах ограничено условиями применимости теории излучения мягких фотонов (98,9—10).
Вычислим прежде всего интеграл по d3k в нерелятивистском пределе. При |р| = |р'|<^т имеем
Р' Р Y ~ (flk)2 Ч2
,(p'k) {pk)J т2а>* т2со2
(q = p'—р). Интегрирование этого выражения по направлениям к дает
4яда Г ка . \ тгш2 \Зсо2 / ‘
После этого имеем из (120,6)
0) = 0)„
max
da dcWjt/na I [* З(к2 + Я2)
о
е V Г Г 1 _к2 _ ,
(k2 + A,a)Vj
или, произведя интегрирование в предположении сотах/Я^>1,
(120,9)
У"Р Зл т2 У X
В общем релятивистском случае для вычисления интеграла воспользуемся формулой (131,4). С ее помощью имеем для интеграла по углам
J = г г J.. Г
. [(/>?)* + (/>'?) (l-*)]2
о
или, раскрыв скалярные произведения с р = (е, р), р'=(е, р'),
1 ~ IdX I {eco — k [рх + р' (1—л:)]}2 ’
