Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.
Скачать (прямая ссылка):
— ieu (р_) (—р+) =
=(—ief и (р_) yvi j G (р) Y<*G (р - k) у(/) и (—р+) (117,2) или, в раскрытом виде,
(*¦>o^v- j1 ¦ (I17'3)
где обозначено
Ф» („) = -,* v,w+gvMr-vM-m)v, (П7>4)
и для краткости опущены множители и(р_)...и(—р+); везде ниже подразумевается, что обе стороны равенства берутся в этих «обкладках».
Проведенный на диаграмме (117,1) горизонтальный пунктир рассекает ее на две части таким образом, чтобы показать промежуточное состояние, которое фигурировало бы при вычислении мнимой части формфактора по условию унитарности: это есть состояние электрон-позитронной пары с импульсами, отличными от р_, р+. Это же рассечение показывает, где в интеграле (117,2) должна быть произведена замена полюсных множителей, если производить вычисление по правилу (115,9) (в (117,3) эти множители выделены в подынтегральном выражении).
§ 117J ВЫЧИСЛЕНИЕ ФОРМФАКТОРОВ ЭЛЕКТРОНА 567
Интеграл в (117,3) —того же вида, что и в (115,2). Поэтому мы можем сразу написать результат преобразования в форме
(115,10), минуя промежуточные этапы:
Ч-f Im f(t)—^a^kv Img(t) = — ^}/r —p- J^{p)dop, (117,5)
где t—k2, интегрирование производится по направлению вектора р, а 4-векторы р'- = р и p\^k — p в определении функции фм'(р)
(117,4) становятся 4-импульсами реальных (а не виртуальных) частиц. Выражение (117,5) относится к системе отсчета, в которой к = 0; это —система центра инерции рождающейся пары р_, р + (а тем самым — и «промежуточной» пары р'_, р'+). В этой системе, следовательно,
и легко проверить, что
/2 = (р - р_)2 == —2р2 (1 - cos 0) = -^L2 (1 -cos 0), (117,6)
где 0 —угол между р и р_ (причем p2 = pi). Подставив теперь
(117,4) в (117,5) и исключив в подынтегральном выражении матрицы yv...yv с помощью формул (22,6), получим
/1ш/(/) — ~o»vkvlmg (t) =
р2 do„
=--------— I 1г—п—р д- 7V (ур + т) 711 (ур — yk-\-m)y4 =
4\f t (t—4m2) J 2л (1 —cos 0) v r ' rv
=-------. g2 _=¦ Г 0 -nrf0f—дг- [-2m2f + 4m (P* + 2/") +
J 2л (1 —cos 0) L ‘ \ I )~r
+ 2{yP+-Vf)y'l(yP- + yf)], (П7.7)
где введены 4-векторы
f~P — P- = (0, f)> P = P-—p+ = (0, 2p_). (117,8)
Интегрирование сводится теперь к вычислению интегралов
("7.9)
с каждым из трех перечисленных числителей.
Интеграл I логарифмически расходится при 0—>-0. Переписав его как
t-4rnz — (/-4m2)
Г АЕ1- Г ISO.
J f2 J /а ’
о о
мы видим, что расходимость отвечает малым «массам» виртуального фотона. Таким образом, это — «инфракрасная» расходимость.
568
РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ
СГл. XII
Мы отложим ее подробное рассмотрение до § 122. Здесь отметим только, что она является фиктивной в том смысле, что при правильном учете всех физических эффектов подобные расходимости взаимно компенсируются и исчезают. Поэтому мы можем произвольным образом «обрезать» интеграл снизу, а в дальнейшем, при расчете реальных физических явлений, устремить предел обрезания к нулю.
Здесь будет проще всего совершать обрезание релятивистски
инвариантным образом. Для этого припишем виртуальному фо-
тону f малую, но конечную массу К (к<<^т), т. е. заменим в фотонном пропагаторе D(f2) в (117,2)
— X 2. (117,10)
После этого
— (^ — 4 т2)
' = ] О17-11)
о
Интеграл в котором — пространственноподобный 4-вектор, должен выражаться через 4-вектор Р^ — из двух имеющихся в нашем распоряжении 4-векторов Рд и № пространственноподобен (при произвольных р+, р_) только РПоэтому /,г = Л/ж. Умножив это равенство на Р^ и вычисляя интеграл Р^ в системе центра инерции пары (компоненты 4-векторов / и Р — из (117,8)), находим
1 1
„ 1 С ipd cos 0 1 Г , а ,
Л=д-§ \ -г-5- = —-гг \ d cos0 =—1.
2р2 J 1 —cos 0 2 J
-1 -1
Таким образом,
/и = __рч. (117,12)
Аналогичным образом вычисляется интеграл
/^ = |/32(^V-^)+l^pv (117>13)
(для определения коэффициентов в этом выражении достаточно вычислить интегралы 1$ и 11П'РцРг).
Дальнейшее вычисление происходит следующим образом. Подставив (117,11 —13) в (117,7), мы получим между «обкладками» и (р_).. .и (—р+) сумму ряда членов. В каждом из них «прогоняем » (с помощью правил коммутации матриц у**) множитель ур+ направо, а ур_— налево; после этого можно заменить ур_-^т, ур+—> —/я, поскольку
и (р_) ур_ = тй (р_), ур+и {—р+) = — ти (—/»+).
В получающейся в результате сумме
—4 (р+р.) + 2тР* — ЪР2у^
j 117] ВЫЧИСЛЕНИЕ ФОРМФАКТОРОВ ЭЛЕКТРОНА 569
можно еще заменить Р^ на эквивалентное ему (в обкладках!) выражение
Рп 2myv‘ + a^lvkv
(ср. (116,5)). Наконец, выразив все величины через инвариант t = k2 (2p+p- = t — 2m2, P2 = 4m2— /) и сравнив затем обе стороны равенства (117,7), получим следующие формулы для мнимых частей формфакторов:
Im g(t) = -=J?L=r, (117,14)
s w У t (t — 4m2) v ’
Im f (t) = —r Г—3t + 8m2 -f 2 (t - 2m2) In . (117,15)
4 * (t — 4/n2)
Инфракрасная расходимость имеется только в Im/(^).
Сами функции f (t) и g(t) вычисляются по их мнимым частям с помощью формул (116,11 —12). Интегрирование в этих формулах удобно произвести с помощью тех же подстановок, которые были использованы в § 113 при вычислении ^(t). Выраженные через переменную ? (113,11) формфакторы определяются формулами
