Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.
Скачать (прямая ссылка):
(Za)2/n<^x<^m (123,4)
(Z?a2m — порядок величины энергии связи электрона в атоме). Тогда в области I достаточно учитывать поле ядра лишь в первом приближении. В области же II надо учитывать поле ядра
а) В этом параграфе Es обозначает энергию электрона в атоме, не включающую в себя его энергию покоя. Индекс s обозначает совокупность квантовых чисел, определяющих состояние атома.
§ 123]
РАДИАЦИОННОЕ СМЕЩЕНИЕ АТОМНЫХ УРОВНЕЙ
595
точным образом, но зато (в силу условия х<^/п) можно решать задачу в нерелятивистском приближении — не только по отношению к самому электрону, но и для всех промежуточных состояний. При условии (123,4) области применимости обоих способов расчета перекрываются, что и позволяет произвести строгую «сшивку» обеих частей поправки к уровню.
Высокочастотная часть сдвига
Рассмотрим сначала область I. В ней можно воспользоваться поправкой к амплитуде рассеяния (122,1), из которой, однако, необходимо предварительно исключить вклад виртуальных фотонов, относящихся к области II. Эти фотоны вносят лишь малый вклад в формфактор g, который поэтому не нуждается в изменении. В функцию же / виртуальные фотоны малых частот вносят большой вклад из-за инфракрасной расходимости. Поэтому в качестве / в (122,1) надо подставить функцию fK, из которой область k0 < х уже исключена.
Такое исключение можно было бы произвести прямым способом, вычитая из / интеграл по области /г0 < Требуемый результат можно, однако, получить без новых вычислений, используя результаты § 122.
Для этого заметим, что исключение частот k0 < х можно рассматривать как один из возможных способов инфракрасного обрезания. Результат же для поправки к сечению рассеяния не может, разумеется, зависеть от способа обрезания при условии, что таким же образом обрезается и вероятность испускания реальных мягких фотонов, т. е. в понятие «упругого» рассеяния включается испускание фотонов с частотами лишь от х до заданного сотах. Если выбрать сотах = х, то явный учет испускания фотонов станет излишним. Отсюда ясно, что получается из определенной в § 122 функции /штах просто заменой сотах на к. В частности, в нерелятивистском случае
Преобразуем теперь поправку (122,1) к амплитуде рассеяния, представив ее как результат соответствующей поправки к эффективной потенциальной энергии электрона в поле. Сравнив ампли-
(123,5)
— е (и'*Фи),
596 РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ [Гл. XII
мы видим, что роль такой поправки играет (в импульсном представлении) функция
ебФ (q) = е<2рад (q) Ф (q). (123,6)
В нерелятивистском случае, взяв 5s и g из (113,14) и (117,20), а для / подставив /х из (123,5), получим
№ «И S (1п ? +Я-т) + = 47} Ф(ч). (123,7)
Соответствующая функция 6Ф (г) в координатном представлении *):
№ С)==• ('" w+я-T) ¦4Ф<Г>-‘ С)- <123-8>
Смещение уровня бE(sl) получим, усредняя ебФ (г) по волновой функции невозмущенного состояния электрона в атоме, т. е. как соответствующий диагональный матричный элемент?):
8Е?’=5=*(|п? + й-у)«1ДФ15>-‘в <s|VV®|s>. (123,9)
В первом члене достаточно использовать при усреднении нерелятивистскую функцию электрона. Во втором же члене такого приближения недостаточно: нулевое приближение по нерелятивистским функциям обращается в нуль ввиду отсутствия у матриц у диагональных элементов. Поэтому здесь надо воспользоваться найденной в § 33 приближенной релятивистской функцией i|>=
= , сохранив в ней малые (в стандартном представлении)
компоненты %. Имеем
= ф*СТ'/_ — %*СТф
и, подставив из (33,4)
Х=2^рФ = ~2^Ф,
получаем
<s j 7?Ф | s> = - ^ J {Ф* КФ) (оТф) + (7ф* • а) (а?Ф) ф} d*x =
= 2^ J {ф* — 2шф* [?Ф- ?ф]} d3x
1) Подчеркнем отличие этой поправки к потенциалу от поправки, рассматривавшейся в § 114. Последняя включала в себя только эффект поляризации вакуума (диаграмма (121,2, а)) на кулоново поле как таковое. Поправка же (123,8) относится уже ко взаимодействию поля с электроном и включает в себя также и эффект изменения движения электрона (диаграмма (121,2,6)).
2) Строго говоря, определенные в § 117 формфакторы относились к вершинному оператору при двух свободных электронных концах (р2 = р'2=т2). Для электрона же в атоме энергия Es — уровень, вообще никакие связанный с р. Этим отличием можно, однако, пренебречь в области I. .
§ 1231
РАДИАЦИОННОЕ СМЕЩЕНИЕ АТОМНЫХ УРОВНЕЙ
597
(при преобразовании интеграла использовано тождество (33,5) и произведено интегрирование по частям). Поскольку Ф = Ф(г), то
и поэтому
где 1 = — i [гТ] — оператор орбитального момента. Наконец, собрав полученные выражения .и подставив в (123,9), находим
е3 (, т , 19 \ , _ 1 д I _ч , е3 / _ 1 d(&
где теперь уже в обоих членах усреднение производится по нерелятивистской волновой функции.
Низкочастотная часть сдвига
Для вычисления второй части сдвига уровней используем прием, основанный в конечном итоге на условии унитарности.
В силу возможности испускания фотона возбужденное состояние атома является квазистационарным (а не строго стационарным). Такому состоянию можно приписать комплексное значение энергии, причем его мнимая часть равна—wf2, где w—вероятность распада состояния, т. е. в данном случае полная вероятность испускания фотона (см. III, § 134). В нерелятивистском приближении излучение является дипольным, и согласно (45,7) имеем
