Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.
Скачать (прямая ссылка):
rf0U> и, .... q 8 - (\ — sin I ] do', (121,18)
,3 . з е v 2
4 | р |3 sin3 -g-
.9, .0
n- , . sin'* — In Sin -r
2Zam I p | 2 2
« - v (121,19)
(1— t>2sin2|-J cos y
(W. A. McKinley, H. Feshbach, 1948; R. H. Dalitz, 1950).
В первом борновском приближении сечения рассеяния электрона и позитрона (в одном и том же внешнем поле) одинаковы. Во втором приближении эта симметрия исчезает. Для рассеяния позитрона (заряд +|е|) амплитуда первого приближения (121,6) имеет обратный знак, знак же не меняется. Поэтому сечение dat2), представляющее собой интерференционный член между и M\f, изменит знак. То же самое произойдет и с выражением
(121,19) для вектора поляризации. Вообще, переход от формул для рассеяния электрона к формулам для рассеяния позитрона можно произвести формальной заменой Z —>—Z.
§ 122. Радиационные поправки к рассеянию электрона во внешнем поле
Перейдем к вычислению радиационных поправок к рассеянию электрона во внешнем поле (J. Schwinger, 1949).
Соответствующая часть амплитуды рассеяния изображается двумя диаграммами (121,2). Диаграмма а дает в амплитуду вклад
_(ZTV«)^b35D(-q*).^(q),
где 5* (— q2) — поляризационный оператор, отвечающий петле в диаграмме. Вклад диаграммы б
— (и'А°и) еФ (q),
где Л° — поправочный член в вершинном операторе (Гц *= согласно (116,6)
л° = Vй и (—Я2) - Ч—ifcа^ЧуВ(—я2)-
590
РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ
[Гл. XII
Сложив оба вклада, получим1)
Л*}?> = -(й'т°<гради)вФ(ч). (122>1)
<2Рад (Ч) = / (— q2) — 1 —^ (- Ч2) + ^ ? (- q2) 4V-
Обсудим прежде всего вопрос об инфракрасной расходимости, содержащейся в формфакторе /(—q2), а тем самыми в амплитуде рассеяния (122,1).
Уже было указано (§ 98), что точная амплитуда чисто упругого рассеяния сама по себе равна нулю, т. е. не имеет смысла. Физическим смыслом обладает лишь амплитуда рассеяния, определенного как процесс, в котором может быть испущено любое число мягких фотонов с энергией каждого меньшей некоторого заданного значения сошах, удовлетворяющего условиям применимости теории излучения мягких фотонов. Другими словами, имеет смысл лишь сумма
“max “max “max
da = davnp+dcrvnp j dwa + daynv— j dwai j ^^+...,(122,2) 0 0 0
где dffynp —сечение рассеяния без испускания фотонов, а dwa — дифференциальная вероятность испускания электроном фотона с частотой со. При этом предполагается, что daynp само вычисляется в виде ряда теории возмущений, т. е. в виде разложения по степеням а?). Тогда после сведения вместе членов каждого порядка по а из всех слагаемых в (122,2) мы получим da в виде разложения по а, каждый из членов которого будет конечным.
В первом борновском приближении daynp ~ а2. Этот член, естественно, имеет смысл сам по себе. Если же мы хотим учесть следующую поправку в daynp (член ~ а3), то наряду с ней надо взять также и второй член в сумме (122,2): поскольку dwa~ а, то при умножении на dcrynp ~ а2 отсюда тоже возникает величина ~ а3. Покажем, что при сложении этих двух величин инфракрасная расходимость устраняется.
1) При преобразовании помнить, что если 9^=(0, q), то <7ц=(0, —q)! Поэтому aov<?v = — Y° qV-
2) Что касается вероятности dwa, то необходимость учета радиационных поправок в ней зависит от величины а)тах; предел со —>- 0 отвечает классиче-
скому случаю, в котором радиационные поправки исчезают; поэтому выбором достаточно малого шшах можно всегда сделать их малыми.
§ 122]
РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ К РАССЕЯНИЮ
591
Расходящийся член в формфакторе / согласно (117,17) имеет вид1)
Мы видим, что расходящийся вклад от мягких (| к | ~ Я) вир-туальных фотонов действительно сокращается с вкладом от излучения таких же реальных фотонов. Такая же ситуация имеет место в любом другом процессе рассеяния.
В то же время появляется зависимость сечения рассеяния от «max- Эта зависимость — следствие того, что величина сотах входит в самое определение рассеяния как процесса, в котором может быть испущено любое число мягких фотонов. Естественно, что сечение такого процесса будет тем меньше, чем ниже предел сошах частот фотонов, испускание которых мы еще относим к данному процессу рассеяния.
Найдем теперь полное выражение радиационной поправки к сечению рассеяния. Поступая по стандартным правилам (см. (65,7)),
*) В этом легко убедиться, использовав связь
Соответствующий член в амплитуде (122,1):
fFln-f-.(«y«)eO(q),
а в сечении рассеяния (121,5):
^аинфра _ — af ]n . | и'уОи |2 | еф (q) |2 <
Сравнив это с борновским сечением
находим, что
dam*^ = — aF\n-j--datlK
(122,3)
С другой стороны, второй член
^шах
(122,4)
о
Наконец, сложив (122,3) и (122,4), получим
(122,5)
1 я I 1-J
т VI
между [ q | и переменной через которую выражено (117,17).
592 РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ 1Гл. XII
находим для сечения, усредненного по поляризациям начального и просуммированного по поляризациям конечного электронов:
de = dew-\-de^ =
= | еФ (q) |а Sp {(ур' + т) (уа + v°Qpaa) (ур + т) (v° + Т°<2рад)} 3^3 •
(122,6)
Согласно (122,1)
<2Рад = a+by q, <?рад = v°Q? аД7° “ а - ^YQ»
а = / (— q8) — 1 —^Hq2).
С точностью до членов, линейных по а и Ь, след в (122,6) равен -J-Sp {...}»2 (е3 — (1 + 2a)-2bmq\
