Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.
Скачать (прямая ссылка):
Поэтому da
'рад '
2 {h (-Q2) - 1 —^ 3» (-q’)-4^g(~ q2)} (122,7)
где doa> — борновское сечение рассеяния неполяризованных электронов (80,5); у формфактора } приписан индекс к для напоминания о том, что он «обрезан по массе фотона Ъ.
Остается прибавить к (122,7) сечение испускания мягких фотонов. Если представить в виде
M-q^l-fF^lnf + a^, (122,8)
то согласно (120,11) это добавление сведется к замене в (122,7)
/я на
- 1 - ff (Щ-)ЯГ^+Т F. ¦+1<122’9>
С этой заменой (122,7) дает окончательный ответ.
Отметим, что в нерелятивистском пределе1)
/»... = 1-№(‘"&+я)' 4^m’- (122Л0)
Обратим внимание на то, что специфика внешнего поля входит в радиационную поправку к сечению только через посредство doa); множитель же в фигурных скобках в (122,7) имеет универсальный характер. В нерелятивистском приближении
(122,11)
!) Это выражение отличается от нерелятивистского (117,20) заменой Jn X —> In 2<w—V,.
§ 123]
РАДИАЦИОННОЕ СМЕЩЕНИЕ АТОМНЫХ УРОВНЕЙ
593
(сюда входят вклады от всех членов в (122,7)). В обратном же, ультрарелятивистском, случае основной вклад вносит только член с /а>тах — 1 и получается
(122,12)
Отметим в заключение, что рассмотренные здесь радиационные поправки не приводят к появлению каких-либо поляризационных эффектов, отсутствующих в первом борцовском приближении (в отличие от поправок второго борновского приближения, рассмотренных в § 121). Дело в том, что специфика первого борновского приближения в конечном счете связана с эрмитовостью 5-матрицы. Это свойство, однако, сохраняется и при учете рассмотренных радиационных поправок, поскольку в этом приближении отсутствуют какие-либо реальные промежуточные состояния в канале рассеяния (так что правая часть соотношения унитарности обращается в нуль)1).
§ Радиационное смещение атомных уровней
Радиационные поправки приводят к смещению уровней энергии связанных состояний электрона во внешнем поле (так называемое смещение Лэмба). Наиболее интересный случай этого рода — смещение уровней атома водорода (или водородоподобного иона)2).
Последовательный метод вычисления поправок к уровням энергии основан на использовании точного электронного пропагатора во внешнем поле (§ 109). Но если
Za<^l, (123,1)
то можно воспользоваться более простым способом, в котором внешнее поле рассматривается как возмущение.
х) Вычисление радиационных поправок к процессам, появляющимся лишь во втором приближении теории возмущений, значительно более громоздко и в этой книге не будет воспроизведено. Мы ограничимся лишь некоторыми литературными ссылками: радиационные поправки к рассеянию фотона на электроне — Brown L. М., Feynman /?.— Phys. Rev., 1952, v. 85, p. 23!; к двухфотонной аннигиляции пары—Harris J., Braun L. M.—Phys. Rev., 1957, v. 105, p. 1656; к рассеянию электрона электроном и позитроном — Redhead М.— Ргос. Roy. Soc., 1953, v. А220, p. 219; Половин P. В.— ЖЭТФ, 1956, т. 31, с. 449; к тормозному излучению—Фомин П. И.— ЖЭТФ, 1958, т. 35, с. 707.
2) Вычисление сдвига водородных уровней было впервые произведено Seme (Н. A. Bethe, 1947) с логарифмической точностью на основе нерелятивистского рассмотрения; этот расчет послужил отправным толчком для всего последующего развития квантовой электродинамики. Разность уровней 2s,^ и 2pt/s (в первом неисчезающем приближении теории возмущений) была точно вычислена Крол-лем и Лэмбом (N. М. Kroll, W. Е. Lamb, 1949), а полная формула для сдвига уровней была найдена Вейскопфом и Френчем (1/, Weisskopf, J. В. French, 1949).
594
РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ
[Гл. XII
В первом приближении по внешнему полю радиационная поправка во взаимодействии электрона с постоянным электрическим полем описывается теми двумя диаграммами (121,2), которые уже рассматривались нами в связи с задачей о рассеянии электрона в таком поле; переход от одной задачи к другой требует лишь простой переформулировки (см. ниже).
Легко понять, однако, что таким способом можно найти только ту часть сдвига уровня, которая обусловлена взаимодействием с виртуальными фотонами достаточно больших частот. Действительно, рассмотрим, например, следующую (по внешнему полю) радиационную поправку к амплитуде рассеяния электрона:
Р' Р
(в отличие от (121,2, б) эта диаграмма содержит две вершины внешнего поля). В той области интегрирования по d*k, где k0 достаточно велико, эта поправка содержит лишнюю степень Za и поэтому несущественна. Но введение в диаграмму второй вершины внешнего поля вводит в нее также и еще один электронный пропагатор G(f). При малых k (и нерелятивистских внешних концах р и р') оказываются существенными импульсы виртуальных электронов /, близкие к полюсу пропагатора G (/). Появляющийся в результате малый знаменатель компенсирует лишний малый множитель Za. То же самое относится, очевидно, и к поправкам всех вообще порядков по внешнему полю. Другими словами, в области малых частот виртуальных фотонов внешнее поле должно учитываться точным образом.
Разобьем искомый сдвиг уровня б-Е^1) на две части:
&Et = &Ep + 6E?l\ (123,3)
происходящие соответственно от взаимодействия с виртуальными фотонами с частотами в областях I) К>к, II) 60<х. При этом выберем х так, чтобы было
