Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.
Скачать (прямая ссылка):
Г,-А, 1т(Р-> —Р+\ Р-, —
(125,1)
§ 125]
УРАВНЕНИЕ ДЛЯ СВЯЗАННЫХ СОСТОЯНИЙ
603
полюс отсутствует. Последнее очевидно уже из того, что в фейн-мановских диаграммах каждого приближения фигурируют лишь электронные (и фотонные) линии, но не линии «составной частицы» — позитрония как целого. Отсюда в свою очередь следует, что вычисление амплитуды рассеяния вблизи ее полюсов требует суммирования бесконечной последовательности диаграмм. Выясним, какие именно диаграммы входят в эту последовательность.
В первом неисчезающем (первом по а) приближении теории возмущений вершинной части (125,1) отвечают две диаграммы второго порядка:
В следующем (втором по а) приближении имеется уже 10 диаграмм четвертого порядка:
(125,2)
или в аналитическом виде:
г«, im = — (р-—р'-) + e*Yg„Y&Dnv (р- + р+). (125,3)
604 РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ (Гл. XII
и еще 5 диаграмм, отличающихся перестановкой р_<-*• — р'+. Все эти диаграммы имеют по сравнению с диаграммами (125,2) лишнюю степень е2 = а. Покажем, однако, что в диаграмме (125,4, а) эта лишняя степень малости компенсируется малым (при малых импульсах электрона и позитрона) знаменателем.
Будем рассматривать все величины в системе «центра инерции». Поскольку, однако, 4-импульсы внешних концов диаграмм не предполагаются физическими (т. е. р2Фт3), то хотя в этой системе р+= — р_, но е+фе_. Таким образом, 4-импульсы концов
Р- — (е-> Р), Р+ — (е+> —Р),
Р'.=(г:,р'), р; = (е;, -р'), (125,5)
е_ + е+ = е_ + е+.
Энергия связи электрона и позитрона в позитронии ~ та2. Поэтому в интересующей нас окрестности полюсов амплитуды рассеяния
|р| ~ |р' | ~ та<^.т, (125,6)
р2
je_— m|~|e+—т J ~ ~ та2, ...
Вклад в вершинную часть от диаграммы (125,4, а)
п(4 а) ik, 1т -
— ie4j (уxG (q) 7д),-г (yvG (q—p. — p+) yp)km X
xDXp{q-p'_)D^{p_-q)-^. (125,7)
В интеграле (125,7) существенна область значений q^ — iq^, q), близких к полюсам одновременно обеих функций G. В этой области 1 q | и \q0 — m\ малы и электронные пропагаторы
V°<7o—74Л-т Y°+1 Г„ ™ Ч3 , .-п!-1
® w) Гл.-итИл m\_n2O-/0~ 2 Яй т 2т^~ \ ’
(Qo+m) (<7о — т)-
G(q — p-—p+)&y-
......... (125,8)
<7о ¦
-е.-в+ + т + ?- io]"\
Полюсы этих двух выражений лежат по разные стороны от вещественной оси в плоскости комплексной переменной q0\ замкнув путь интегрирования вдоль этой оси, скажем, в верхней полуплоскости, вычислим интеграл по dqa по вычету относительно соответствующего полюса*). В результате найдем, что
i Г_________________d?q_________________
J (<7—Р'-У(Р--П)2 (2m —е_—8++qa/m) ’
pda)
!) Для диаграммы же (125,4, в), отличающейся от (125,4, а) лишь взаимным направлением электронных линий, оба полюса оказались бы лежащими по одну сторону от вещественной оси, так что после сделанных пренебрежений интеграл вообще обратился бы в нуль.
§ 125)
УРАВНЕНИЕ ДЛЯ СВЯЗАННЫХ СОСТОЯНИЙ
605
и отсюда, с учетом (125,6), оценку
(та)г
а“
(та)1 та2 т2а '
Такой же порядок величины имеет и вклад в Г от диаграммы второго порядка (125,2, а) (первый член в (125,3)), чем и доказывается сделанное выше утвержденное о порядке малости диаграммы (125,4, а). Аналогичная ситуация имеет место и во всех дальнейших приближениях теории возмущений.
Таким образом, вычисление интересующей нас вершинной части вблизи ее полюсов требует суммирования бесконечной последовательности «аномально больших» диаграмм с промежуточными состояниями типа внутренних линий диаграммы (125,4, а). Для этих диаграмм характерно, что они могут быть рассечены между концами р_, —р+ и р'_, — р’+ на части, соединяющиеся друг с другом лишь двумя электронными линиями1). Совокупность же всех диаграмм, не удовлетворяющих этому условию, назовем «компактной» вершинной частью и обозначим посредством Гпоскольку аномально большие диаграммы в нее не входят, эти величины можно вычислять по обычной теории возмущений. Так, в первом приближении Г определяется обеими диаграммами второго порядка (125,2), а во втором — восемью диаграммами 4-го порядка (все диаграммы, за исключением (125,4, а—б)).
Классифицируя некомпактные вершинные части по числу содержащихся в них «двойных связей», можно представить полную Г в виде бесконечного ряда:
+ )332(+
(125,9)
где все внутренние сплошные жирные линии —точные пропагато-ры Ъ (ряд такого вида часто называют лестничным). Чтобы просуммировать этот ряд, «умножим» его слева еще на одну Г?):
+
х) Такое определение включает в себя все аномально большие диаграммы, но наряду с ними также и некоторые «нормальные», наприме|тдиаграмму (125,4,6),
2) То есть умножаем все члены ряда на Г и две g и производим соответствующее интегрирование по 4-импульсам новых внутренних связей.
606 РАДИАЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ [Гл. XII
Сравнив теперь этот ряд с исходным рядом (125,9), мы видим, что
Р- Р~
~ >УХ< (125,Ш)
-р1 -л
Это графическое равенство эквивалентно следующему интегральному уравнению:
iTiktlm{p-р+\ Р-, -p'+) = ifik,im{p'-> —Р+; Р-, -р'+) +
+ $Г,г, *„,(/>-- q-p'+-p'-\ q, —p'+)$st(q) S„r(q — p+—p'-) X xrtt,„(?, —P+; P-, q~p'+-p'-)~i. (1?5,11)
Функции Г и Ъ вычисляются по теории возмущений, после чего уравнение (125,11) дает, в принципе, возможность вычислить Г с любой требуемой точностью.
