Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.
Скачать (прямая ссылка):
ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ЧАСТИЦ СО СПИНОМ О
53
свободной частицы и уравнения, которому эта функция подчиняется.
Следует подчеркнуть вспомогательный характер понятия поля свободных частиц. Реальные частицы взаимодействуют, и задача теории состоит в изучении этих взаимодействий. Но всякое взаимодействие сводится к столкновению, до и после которого систему можно рассматривать как совокупность свободных частиц. В § 1 отмечалось, что это—единственно измеримые объекты. Поэтому мы пользуемся полями свободных частиц как средством описания начальных и конечных состояний.
Мы начнем релятивистское описание свободных частиц со случая частиц со спином 0. Математическая простота этого случая позволит наиболее ясно выявить основные идеи и характерные черты такого описания.
Состояние свободной частицы (без спина) может быть полностью определено заданием одного лишь ее импульса р. При этом энергия е частицы1) е2 = р2-[-т2 (где т — масса частицы), или в четырехмерном виде:
р2 = т2. (10,1)
Как известно, законы сохранения импульса и энергии связаны с однородностью пространства и времени, т. е. с симметрией по отношению к любому параллельному смещению 4-системы координат. В квантовом описании требование этой симметрии означает, что волновая функция частицы с определенным 4-им-пульсом при указанном преобразовании 4-координат может лишь умножаться на фазовый множитель (с равным единице модулем). Этому требованию удовлетворяет лишь экспоненциальная функция с линейным по 4-координатам показателем. Другими словами, волновая функция состояния свободной частицы с определенным 4-импульсом р^ = (е,р) должна быть плоской волной:
const •е~‘Рх, px — Bt — pr (10,2)
(выбор знака в показателе в релятивистской теории сам по себе условен; он выбран в соответствии с нерелятивистским случаем).
Волновое уравнение должно иметь функции (Ю,2) в качестве частных решений при произвольном 4-векторе р, удовлетворяющем условию (10,1). Оно должно быть линейным как выражение принципа суперпозиции: любая линейная комбинация функций (10,2) тоже описывает возможное состояние частицы и потому тоже должна быть решением. Наконец, оно должно быть по
возможности более низкого порядка; более высокий порядок
внес бы лишние решения.
х) Мы обозначаем энергию отдельной частицы посредством 8 в отличие от энергии Е системы частиц.
54
БОЗОНЫ
[Гл. II
Спин есть момент частицы в системе отсчета, в которой она покоится. Если спин частицы есть s, то ее волновая функция в системе покоя является трехмерным спинором ранга 2s. Для описания же частицы в произвольной системе отсчета ее волновая функция должна быть выражена в виде четырехмерных величин.
Частица со спином 0 описывается в системе покоя трехмерным скаляром. Такой скаляр, однако, может иметь различное четырехмерное «происхождение»: это может быть четырехмерный скаляр i|5, но может быть и четвертая компонента 4-вектора г|зц (времениподобного), у которого в системе покоя отлична от нуля лишь составляющая i|501).
Для свободной частицы единственным оператором, который может войти в волновое уравнение, является оператор 4-импульса р. Его компоненты представляют собой операторы дифференцирования по координатам и времени:
^ = _fv). (10,3)
Волновое уравнение должно представлять собой дифференциальную связь между величинами я|з и г|зц,, осуществляемую с помощью оператора р. Эта связь должна, разумеется, выражаться релятивистски инвариантными соотношениями. Таковыми ЯВЛЯЮ1СЯ
= р^м = т^>, (10,4)
где т—размерная постоянная, характеризующая частицу2).
Подставив из первого уравнения во второе, получим
(р2— тг)\j) = 0 (10,5)
(О. Klein, В. А. Фок, 1926; W. Gordon, 1927). В раскрытом виде это уравнение записывается как
— = Hi + A)t = m4 (10.6)
Подставив в него я|з в виде плоской волны (10,2), получим р2 = т2, откуда видно, что т—масса частицы. Отметим, что вид уравнения (10,5), конечно, заранее ясен из того, что р2— единственный скалярный оператор, который можно составить с помощью р (по этой
*) Либо аналогичным образом временная компонента 4-тензора более высокого ранга; этот случай, однако, привел бы к уравнениям более высокого порядка.
2) Постоянные т введены в (10,4) так, что фц и ф имеют одинаковую
размерность. Вводить в этих двух уравнениях различные постоянные т1 и т2
было бы бессмысленно, так как их всегда можно было бы сделать одинако-
выми путем переопределения -ф или
ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ЧАСТИЦ СО СПИНОМ О
55
причине такому же уравнению удовлетворяет каждая из компонент волновой функции частицы с любым спином — это мы неоднократно увидим в дальнейшем).
Таким образом, частица со спином 0 описывается по существу всего одним (четырехмерным) скаляром т|з, подчиняющимся уравнению второго порядка (10,5). В уравнениях же первого порядка (Ю,4) роль волновой функции играет совокупность величин ¦ф и %, причем 4-вектор т|)ц сводится к 4-градиенту скаляра i|). В системе покоя волновая функция частицы не зависит от координат (пространственных) и поэтому пространственные компоненты 4-вектора ^ обращаются, как и должно быть, в нуль.
