Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.
Скачать (прямая ссылка):
58
БОЗОНЫ
[Гл. II
где в первой сумме стоят нормированные согласно (10,16) плоские волны с положительными, а во второй —с отрицательными «частотами»; е везде обозначает положительную величину: 8= + /^ + ^. При вторичном квантовании коэффициенты ар+) в первой сумме заменяем обычным образом операторами ар уничтожения частиц. Во второй же сумме замечаем, что при дальнейшем образовании матричных элементов временная зависимость ее слагаемых будет сортветствовать не уничтожению, а рождению частиц: множитель еш = (е~ш)* отвечает одной лишней частице с энергией е в конечном состоянии (ср. конец § 2). Соответственно этому коэффициенты aj,~) заменяем операторами b рождения некоторых других частиц. Заменив также во второй сумме в (11,1) обозначение переменной суммирования р на
— р (чтобы экспоненциальный множитель приобрел вид <рг-е^), получим ф-операторы в виде
Таким образом, все операторы ар, Ьр оказываются умноженными на функции с «правильной» зависимостью от времени а операторы ар, Ьр—на комплексно-сопряженные им функции. Это и даег возможность истолковать, в соответствии с общими правилами, операторы ар, Ър как операторы уничтожения, а ар , Ьр—как операторы рождения частиц с импульсами р и энергиями е.
Мы приходим к представлению о частицах двух родов, выступающих совместно и равноправно. О них говорят как о частицах и античастицах (смысл такого названия выяснится ниже). Одним из них отвечают в аппарате вторичного квантования операторы ар, ар , а другим—Ър, Ър . Оба вида частиц, операторы которых входят в один и тот же ф-оператор, тем самым имеют одинаковые массы.
К происхождению этих результатов можно подойти и с гочки зрения прямых требований релятивистской инвариантности.
Преобразования Лоренца представляют собой в математическом смысле повороты четырехмерной системы координат, меняющие направление оси времени (вместе с чисто пространственными поворотами, не затрагивающими оси времени, они составляют группу преобразований, которую называют группой Лоренца1)).
J) Отметим, что совокупность всех трехмерных (пространственных) поворотов составляет сама по себе группу, входящую в группу Лоренца в качестве подгруппы. Совокупность же преобразований Лоренца сама по себе не составляет группы: результат последовательных преобразований Лоренца может сводиться к чисто пространственному повороту.
ЧАСТИЦЫ И АНТИЧАСТИЦЫ
59
Все эти преобразования обладают тем общим свойством, что они не выводят ось t за пределы соответствующей полости светового конуса, чем и выражается физический принцип—существование предельной скорости распространения сигналов.
Но в чисто математическом отношении поворотом является также и одновременное изменение знака всех четырех координат (четырехмерная инверсия): определитель этого преобразования равен -f-1, как и определители всякого другого поворотного преобразования. При этом ось времени переводится из одной полости светового конуса в другую. Хотя это обстоятельство и означает физическую неосуществимость такого преобразования (как преобразования системы отсчета), но в математическом отношении отличие сводится лишь к тому, что (в силу псевдоев-клидовости метрики) такой поворот не может быть произведен без того, чтобы не допустить попутно комплексное преобразование координат.
Естественно полагать, что это отличие должно быть несущественно, когда речь идет о четырехмерной инвариантности. Тогда всякое выражение, инвариантное по отношению к преобразованиям Лоренца, должно быть инвариантно и по отношению к 4-инверсии. Точная формулировка этого требования в применении к скалярному ^-оператору будет дана в § 13. Но сразу же отметим, чго оно во всяком случае приводит к необходимости одновременного присутствия в ^-операторах членов с обоими знаками перед е в показателях, поскольку замена t—*¦ — t как раз меняет этот знак.
Вернемся к выражениям (11,2) и установим перестановочные соотношения между операторами ар, а? (и Ьр, Ьр). В случае фотонов это было сделано (для операторов ср, Ср) исходя из аналогии с осцилляторами, т. е. по существу из свойств электромагнитного поля в классическом пределе. Теперь такой аналогии нет. Для установления правил коммутации (Бозе или Ферми) между операторами мы можем руководствоваться лишь видом построенного из этих операторов гамильтониана.
Последний получается (см. III, § 64) подстановкой ф и ф+ вместо ф и г|з* в интеграл J Т^сРх1). Таким образом найдем
Н = Це(арар + ЪрЬр). (11,3)
р
*) В нерелятивистской теории при этом полагается писать сопряженный оператор г?+ слева от if. Здесь же порядок безразличен, так как перестановка Ч!+ и г|) привела бы лишь к перестановке равноправных операторов ар и 6р. Необходимо, однако, выбрав тот или иной порядок, всегда придерживаться одинакового правила.
60 БОЗОНЫ [Гл. II
Легко видеть, что разумный результат для собственных значений этого гамильтониана получается, лишь если операторы удовлетворяют правилам коммутации Бозе:
{аР, ар}_ = {Ьр, 6р+}_ = 1 (11,4)
(все другие пары операторов коммутативны; в гом числе коммутативны все операторы частиц ар, ар со всеми операторами античастиц Ър, Ьр). Действительно, в таком случае
