Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.
Скачать (прямая ссылка):
РаР^а^Э- (^>^)
Так, компоненты ри и р22 представляют собой вероятности линейных поляризаций вдоль осей ^ и 4. Проецирование на векторы (8,2) дает вероятности двух круговых поляризаций:
у[1 ±г (pi2 — р21)]. (8,6)
Свойства тензора рар по форме и по существу совпадают со свойствами тензора /аР, описывающего частично поляризованный свет в классической теории (см. II, § 50). Напомним здесь некоторые из этих свойств.
В случае чистого состояния с определенной поляризацией е тензор Рсф сводится к произведениям компонент вектора е:
Pat>~eaefi- (8,7)
При этом определитель |рор| = 0. В обратном случае неполяри-зованного фотона все направления поляризации равновероятны, т. е.
Рар=убар, (8,8)
при этом | раР | = 1/4.
В общем случае частичную поляризацию удобно описывать с помощью трех вещественных параметров Стокса lt, 12, I31), через которые матрица плотности выражается в виде
<8'9>
Все три параметра пробегают значения между —1 и +1. В не-поляризованном состоянии ii = I2 = i8 = 0; для полностью поляризованного фотона ?? + ?1 +11 = 1.
Параметр |3 характеризует линейную поляризацию вдоль осей | или ту, вероятность фотону быть линейно поляризованным вдоль этих осей равна соответственно (1+?3)/2 или (1—?3)/2. Значения ?3 = + 1 или —1 отвечают поэтому полной поляризации в этих направлениях.
Параметр характеризует линейную поляризацию вдоль направлений, составляющих угол ср = я/4 или ср = — я/4 с осью Вероятность фотону иметь линейную поляризацию в этих направлениях равна соответственно (1+|х)/2 или (1—1^/2; в этом легко убедиться, спроецировав тензор ра(3 на направления es=0, ±1 )IV2.
1) Не смешивать обозначение параметров с обозначением оси |!
46
ФОТОН
[Гл. I
Наконец, параметр ?2 есть степень круговой поляризации; согласно (8,6) вероятность фотону иметь правую или левую круговую поляризацию равна (1+?а)/2 или (1—|2)/2. Поскольку две поляризации отвечают спиральностям Х=±1, то ясно, что в общем случае \2 есть среднее значение спиральности фотона. Отметим также, что в случае чистого состояния с поляризацией е
1г = 1'[ее*]п. (8,10)
Напомним (см. II, § 50), что по отношению к преобразованиям Лоренца инвариантными величинами являются и
} Ы + Ш-
]Мы встретимся также в дальнейшем с вопросом о поведении параметров Стокса по отношению к операции обращения времени. Легко видеть, что они инвариантны по отношению к этому преобразованию. Это свойство не зависит, очевидно, от природы поляризационного состояния, и потому достаточно убедиться в нем хотя бы в случае чистого состояния. Обращению времени отвечает в квантовой механике замена волновой функции на ее комплексно-сопряженную (III, § 18). Для плоскополяризованной волны это означает замену ’)
k —V — к, е —> — е*. (8,11)
При таком преобразовании симметричная часть матрицы плотности
"2" “Н с^еа),
а тем самым и параметры ^ и |3 не меняются. Неизменность же параметра |2 при том же преобразовании видна из (8,10); она очевидна также уже из смысла ?2 как среднего значения спиральности. Действительно, спиральность есть проекция момента j на направление п, т. е. произведение jn; обращение же времени меняет знак обоих этих векторов.
В дальнейших вычислениях нам понадобится матрица плотности фотона, записанная в четырехмерной форме, т. е. в виде некоторого 4-тензора р^. Для поляризованного фотона, описываемого 4-вектором этот тензор естественно определить как
P|iv = (8,12)
При трехмерно поперечной калибровке е = (0, е) и если одна из пространственных осей координат выбрана вдоль п, отличные от нуля компоненты этого 4-тензора совпадают с (8,7).
х) Дополнительное изменение знака е связано с тем, что обращение времени меняет знак векторного потенциала электромагнитного поля. Скалярный же потенциал не меняет знака; поэтому для 4-вектора е обращение времени есть преобразование
(е0, е)—*(«;, -е*). (8,11а)
§ 8] ПОЛЯРИЗАЦИЯ ФОТОНА 47
Для неполяризованного фотона трехмерно поперечной калибровке отвечает тензор рцу с компонентами
P/ft ~2~ $ik Poi Pie Poo ^ (8,13)
(если одна из осей совпадает с направлением п, мы возвращаемся к (8,8)). Непосредственное использование тензора p^v в таком трехмерном виде, однако, было бы неудобным. Но мы можем воспользоваться калибровочным преобразованием; для матрицы плотности это есть преобразование вида
Pnv * Pnv+ 4" (8,14)
где Xu — произвольные функции. Положив
__________l_ _ ki_
~ 4<о ’ ~ 4ш2 ’
получим вместо (8,13) простое четырехмерное выражение
P^v= 2" Si*v (®> 15)
Четырехмерное представление матрицы плотности частично поляризованного фотона легко получить, переписав предварительно двумерный тензор (8,9) в трехмерном виде:
р,*=i +w>+1 +е{?е1^ -
-f (е?еЧ?-<*№) + -|-
где е(1), е(2) — единичные векторы, орты осей ^ и г). Требуемое обобщение достигается заменой этих 3-векторов пространственноподобными единичными вещественными 4-векторами еш, ет, ортогональными друг другу и 4-импульсу фотона k:
еа) 2 = е(2) 2 = —1,
е(1)е(2) = 0, (8,16)
e^k = emk = 0.
В частной системе отсчета: е(1) = (0, еш), ет = (0, е<2)). Таким образом, четырехмерная матрица плотности фотона
