Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Берестецкий В.Б. -> "Квантовая электродинамика" -> 18

Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.

Берестецкий В.Б., Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. Квантовая электродинамика — Физматлит, 2001. — 708 c.
Скачать (прямая ссылка): kvantovayaelektrodinamika2001.pdf
Предыдущая << 1 .. 12 13 14 15 16 17 < 18 > 19 20 21 22 23 24 .. 247 >> Следующая

Puv = у (еЦ'е'» + ^’е'2’) + («2> + ejM’) -
- ‘f (е&Ч2’ -W) + (ере!}’ -«2>). (8,17)
Удобство того или иного фактического выбора 4-векторов еа\ ет
зависит от конкретных условий рассматриваемой задачи.
48
ФОТОН
[Гл. I
Надо иметь в виду, что условия (8,16) не фиксируют выбора е{1) и е(2) однозначным образом. Если какой-либо 4-вектор бр. удовлетворяет этим условиям, то им же будет удовлетворять и любой 4-вектор вида + (в силу того, что ?2 = 0). Эта неоднозначность связана с калибровочной неоднозначностью матрицы плотности.
Первый член в (8,17) отвечает неполяризованному состоянию. Поэтому его можно было бы заменить, согласно (8,15), на —gnv/2. Такая замена снова эквивалентна некоторому калибровочному преобразованию.
При оперировании с 4-тензорами вида (8,17), разложенными по двум независимым 4-векторам, удобно применять следующий формальный прием. Записав тензор (8,17) в виде
Piuv -
а, 6= 1
= 2 P<oM e(v!'e§\
а, Ь=
представим коэффициенты р<аг,) двухрядной матрицей
Р =
Как всякую эрмитову двухрядную матрицу ее можно разложить по четырем независимым двухрядным матрицам — матрицам Паули ох, оу, ог и единичной матрице 1. Такое разложение имеет вид
р = 1(1+|о), ! = &,?*, S.), (8,18)
в чем легко убедиться прямым сравнением с (8,17), использовав известные выражения матриц Паули (18,5) (объединение трех величин |2, |3 в «вектор» 1 имеет, конечно, чисто формальный смысл, преследующий лишь цель удобства записи).
Задача
Написать матрицу плотности фотона в представлении, в котором «осями» координат являются циркулярные орты (8,2).
Решение. Компоненты тензора р«р в новых осях (а, Р=±1) получаются проецированием тензора (8,9) на орты (8,2):
(+1) * (Н) ' (+1) * (-1)
pii = f>apea ер , pi-i = paflPa ер .....
,_J_ ( 1 f-—?3+г’11
Р-2\-?з-^1 1-?*
§ 9. Система двух фотонов
Рассуждения, аналогичные проведенным в § 6, позволяют произвести подсчет числа возможных состояний и в более сложном случае системы двух фотонов (Л. Ландау, 1948).
СИСТЕМА ДВУХ ФОТОНОВ
49
Будем рассматривать фотоны в системе их центра инерции; импульсы фотонов кх = — к2 = к,1). Волновую функцию системы двух фотонов (в импульсном представлении) можно представить в виде трехмерного тензора второго ранга Aik(п), составленного билинейно из компонент векторных волновых функций обоих фотонов; каждый из индексов этого тензора соответствует одному из фотонов (п — единичный вектор в направлении к). Попереч-ность же каждого из фотонов выражается ортогональностью тензора Aik вектору п:
АцП1 = 0, Alknt = 0. (9,1)
Взаимная перестановка фотонов означает перестановку индексов тензора Aik вместе с одновременным изменением знака п. Поскольку фотоны подчиняются статистике Бозе, то
Alk(— n) = Aki{n). (9,2)
Тензор Aik, вообще говоря, не симметричен по своим индексам. Разделим его на симметричную (sik) и антисимметричную (aih) части: Aik — slk-\-aik. Соотношению (9,2) (а также условиям ортогональности (9,1)) должна, очевидно, удовлетворять каждая из этих частей в отдельности. Отсюда получаем
S/ft (— n) = slk(n), (9,3)
««-* (— n) = — aik(n). (9,4)
Инверсия системы координат сама по себе не меняет знака компонент тензора второго ранга, но меняет знак п. Поэтому из
(9,3) видно, что волновая функция sik симметрична по отноше-
нию к инверсии, т. е. соответствует четным состояниям системы фотонов; волновая же функция aik отвечает нечетным состояниям.
Антисимметричный тензор второго ранга эквивалентен (дуален) некоторому аксиальному вектору а, компоненты которого выражаются через компоненты тензора согласно ai = -^eiklakl, где
eiki—антисимметричный единичный тензор (см. II, § 6). Ортогональность тензора аы вектору п означает, что векторы а и п параллельны2). Поэтому можно написать a = ncp(n), где ф—скаляр; согласно (9,4) должно быть а(—п) = — а(п), а потому
__________________ф(— п) = ф(п).
*) Такая система отсчета существует всегда, за исключением лишь случая двух фотонов, движущихся параллельно друг другу, в одну и ту же сторону, Суммарный импульс kx + k2 и суммарная энергия co1-f-co2 таких фотонов связаны друг с другом таким же соотношением, как и для одного Ф°тона, и потому не существует системы отсчета, в которой было бы
а) Имеем: а1к = и условие ортогональности даст
= = [па], = 0.
50
ФОТОН
[Гл. I
Это равенство означает, что скаляр ф может быть линейно построен из шаровых функций только четного порядка L (включая порядок нуль).
Мы видим, что антисимметричный тензор aik по своим трансформационным (по отношению к вращениям) свойствам эквивалентен одному скаляру (ср. примечание на стр. 36). Сопоставляя последнему «спин» 0, найдем, что момент состояния J = L. Таким образом, тензор aik соответствует нечетным состояниям системы фотонов с четным моментом J.
Обратимся к симметричному тензору slk. Поскольку он четен по отношению к изменению знака п, то ему отвечают четные состояния системы фотонов. Отсюда же следует, что все компоненты sik выражаются через шаровые функции четного порядка L (включая L = 0). Произвольный симметричный тензор второго ранга sik сводится, как известно, к скаляру (s;/) и к симметричному тензору (s'ik) с равным нулю следом (s;( = 0).
Предыдущая << 1 .. 12 13 14 15 16 17 < 18 > 19 20 21 22 23 24 .. 247 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed