Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Берестецкий В.Б. -> "Квантовая электродинамика" -> 21

Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.

Берестецкий В.Б., Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. Квантовая электродинамика — Физматлит, 2001. — 708 c.
Скачать (прямая ссылка): kvantovayaelektrodinamika2001.pdf
Предыдущая << 1 .. 15 16 17 18 19 20 < 21 > 22 23 24 25 26 27 .. 247 >> Следующая

Для целей дальнейшего проведения вторичного квантования полезно выразить энергию и импульс частицы в виде интегралов по пространству от некоторых билинейных (по ф и ф*) комбинаций, представляющих собой как бы пространственную плотность этих величин. Другими словами, надо найти тензор энергии-импульса Т^у, соответствующий уравнению (10,5). С помощью этого тен_ора закон сохранения энергии и импульса выражается уравнением
ддГ5 = 0. (10,7)
Следуя общим правилам теории поля (см. II, § 32), напишем вариационный принцип, следствием которого являлось бы уравнение (10,5). Такой принцип должен заключаться в требовании минимальности «интеграла действия»
S=lLd*x (10,8)
от некоторого вещественного 4-скаляра L — плотности лагранже-вой функции поля1). С помощью скаляра г|) (и оператора д**) можно составить вещественное билинейное скалярное выражение вида
L = дцтр* • —/п2ф*ф, (10,9)
где m—размерная постоянная. Рассматривая т|з и г|>* как независимые переменные, описывающие поле («обобщенные координаты» поля q), легко видеть, что уравнения Лагранжа
(Я,ц = д^) действительно совпадают с уравнениями (10,5) для фиф*, причем т —масса частицы. Отметим также, что выражение (10,9) написано с таким общим знаком, чтобы квадрат
*) Соответствующий вторично квантованный оператор L называют лагранжианом поля. Для упрощения терминологии мы будем пользоваться этим термином, в зависимости от удобства, как для «квантованной», так и для
«неквантованной» плотности лагранжевой функции.
56 БОЗОНЫ [Гл. II
производной по времени, | dty/dt |а, входил в L со знаком плюс; в противном случае действие не могло бы иметь минимума (ср. II, § 27). Выбор же общего численного коэффициента в L условен (и отражается лишь на нормировочном коэффициенте в ^). Тензор энергии-импульса вычисляется теперь по формуле
(10,11)
(суммирование по всем <7). ПодставиЕ (10,9), получим
• dvi]> + dvi|3* • дцф — Lgw (10,12)
(эти величины, как и следовало, вещественны, что обеспечивается вещественностью L). В частности,
т„ - 2 *? ^ ? + ТГ • V* + -nVf, (10,13)
4-импульс поля дается интегралом
Р» = \т»й(1*х, (10,15)
т. е. Т00 и То1 играют роль плотности энергии и импульса. Отметим, что величина Т00 существенно положительна.
Формулой (10,13) можно воспользоваться для нормировки волновой функции. Плоская волна, нормированная «на одну частицу в объеме У=1», запишется в виде
% = y^e~ipx- (10-16)
Действительно, для этой функции Т00 = е, так что полная энергия в объеме V = 1 совпадает с энергией одной частицы.
Момент импульса, сохранение которого связано с изотропией пространства, тоже может быть выражен в виде пространственного интеграла; однако такое представление момента нам в дальнейшем не понадобится.
Наконец, помимо законов сохранения, связанных непосредственно с пространственно-временной симметрией, уравнения
(10,4) допускают еще один закон сохранения. Действительно, легко убедиться, что в силу (10,4) (и таких же уравнений для т|>*) имеет место уравнение
д^ = 0, (10,17)
где
}ц = m + я|)дт!>) = i [г|)*д|лг|)— (dMoJ>*) ф]. (10,13)
Отсюда видно, что р играет роль 4-вектора плотности тока.
§11] ЧАСТИЦЫ И АНТИЧАСТИЦЫ 57
При этом (10,17) есть уравнение непрерывности, выражающее собой закон сохранения величины
Q = lio(Px, (10,19)
где
= f = (10,20)
Обратим внимание на то, что /0 — не положительно определенная величина. Уже это обстоятельство показывает, что в общем
случае ее заведомо нельзя интерпретировать как плотность вероятности пространственной локализации частицы. Смысл выражаемого уравнением (10,17) закона сохранения выяснится в следующем параграфе.
§11. Частицы и античастицы
Следуя общим правилам проведения вторичного квантования, мы должны рассмотреть разложение произвольной волновой функции по собственным функциям полного набора возможных состояний свободной частицы, например по плоским волнам 1|з :
р р
После этого коэффициенты ар, ар надо было бы понимать как операторы ар, ар уничтожения и рождения частиц в соответствующих состояниях1).
При этом, однако, мы сразу сталкиваемся со следующим новым (по сравнению с нерелятивистской теорией) принципиальным обстоятельством. В плоской волне, являющейся решением уравнения (10,5), энергия е должна удовлетворять (при заданном импульсе р) лишь условию е2 = р2 + /п2, т. е. может иметь два значения: ± Кр2 + /п2. Физическим же смыслом энергии свободной частицы могут, однако, обладать лишь положительные значения е. Между тем просто опустить отрицательные значения недопустимо: общее решение волнового уравнения образует лишь суперпозиция всех его независимых частных решений. Это обстоятельство указывает на необходимость некоторого изменения истолкования коэффициентов разложения -ф и "ф* при вторичном квантовании.
Напишем это разложение в виде
^=S7k^+,e'lpr"e0+^?Wfl',">e‘lpr+e')’ u (1U) ___ ____________р р
J) Мы снабжаем г|>функции индексом 4-импульса р, имея в виду в дальнейшем обозначать функции с «отрицательной частотой» через Опера-
*°Ры же а, а+ снабжаются индексом трехмерного импульса р, полностью определяющего состояние реальной частицы.
Предыдущая << 1 .. 15 16 17 18 19 20 < 21 > 22 23 24 25 26 27 .. 247 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed