Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.
Скачать (прямая ссылка):
3) Эти названия соответствуют терминологии классической теории излучения: мы увидим в дальнейшем (§§ 46, 47), что излучение фотонов электрического и магнитного типов определяется соответствующими электрическими и магнитными цементами системы зарядов.
$ 7] СФЕРИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ ФОТОНОВ 37
§ 7. Сферические волны фотонов
Определив возможные значения момента фотона, мы должны теперь найти соответствующие им волновые функции1).
Рассмотрим сначала формальную задачу: определить такие векторные функции, которые являлись бы собственными функциями операторов j2 и /г; при этом мы не предрешаем заранее, какие именно из этих функций входят в интересующие нас волновые функции фотона, и не учитываем условия поперечности.
Мы будем искать функции в импульсном представлении. Оператор координат в этом представлении г == td/dk (см. III (15,12)). Оператор же орбитального момента
f-,[?k] = -i[k|
т. е. отличается от оператора момента в координатном представлении лишь заменой буквы г на к. Поэтому решение поставленной задачи в обоих представлениях формально одинаково.
Обозначим искомые собственные функции посредством Y/m и будем называть их шаровыми векторами. Они должны удовлетворять уравнениям
f Y/m = / (/ + 1) YJm, jzY/m = m\fm (7,1)
(ось z — заданное направление в пространстве). Покажем, что этим свойством обладает любая функция вида aY/m, где а — какой-либо вектор, образованный с помощью единичного вектора п = к/ю, a Yjm — обычные (скалярные) шаровые функции. Последние будем везде определять согласно III, § 28:
Ylm (п) = (—1Г^1г Y'24я(Г+| m'lSr1 Р'‘т' (C0S9> е"Ф <7’2>
(0, ф — сферические углы найравления п)2).
Для этого вспомним правило коммутации III (29,4):
{?„ ak}-=lelklal.
Правую сторону этого равенства можно написать в виде (—s,aft), где s—оператор спина 1 (воздействие этого оператора на векторную функцию как раз определяется равенством s{ak =— ieiklat\
*) Этот вопрос был впервые рассмотрен Гайтлером (W. Heitler, 1936). Излагаемая форма решения принадлежит В. Б. Берестецкому (1947).
2) Отметим для будущих ссылок значение функций при 9 = 0 (п—вдоль
оси г):
УыЫ=11 У^ 6т0. (7,2а)
38
ФОТОН
[Гл. I
см. III, § 57, задача 2). Поэтому имеем
hak — aJi = — s,ak. Воспользовавшись этим равенством, находим
/А = (/,-КК = а/,..
Следовательно,
f (аУ/т) = al2Y/m, L (aYjm) = alzY/m,
Но шаровая функция YJm есть собственная функция операторов I2 и 12, соответствующая собственным значениям этих величин /(/ + 1) и т, так что мы приходим к равенствам (7,1).
Мы получим три существенно различных типа шаровых векторов, выбирая в качестве вектора а один из следующих векторов *):
Таким образом, определяем шаровые векторы следующим образом:
Рядом с каждым вектором указана его четность Р. Шаровые векторы трех типов взаимно ортогональны, причем Y$j— продолен, aYJ^H Y$} — поперечны по отношению к п.
Шаровые векторы могут быть выражены через скалярные шаровые функции. При этом Y'$} выражаются через шаровые функции лишь одного порядка / = a Yи Y}"{ —через шаровые функции порядков / = /±1. Это обстоятельство заранее очевидно: достаточно сравнить указанные в (7,4) четности шаровых векторов с четностью (—1)г + 1 векторного поля, выраженной через порядок содержащихся в нем шаровых функций.
х) Оператор vn=|k| Vk и Действует на функции, зависящие только от направления п. Он имеет (в сферических координатах) всего две составляющие:
Оператор, обозначенный ниже посредством Дп,— угловая часть оператора
Vi(i+ О’ VW+1)’ П'
[»*¦]
(7,3)
р — ( i Y\
Р = (-¦ l)y+1; P~(-iy.
(7,4)
Лапласа:
СФЕРИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ ФОТОНОВ
39
Шаровые векторы каждого из типов взаимно ортогональны и нормированы согласно
J Y]т Y*'m'do = Sjr6mm<. (7,5)
Для векторов YJJJ это очевидно в силу условия нормировки шаровых функций Y]m. Для векторов Yнормировочный интеграл
j q _J_ ] j Ц ’VnY/mVnY/’m’do = JJjZjTpj J Yi'm’&nYjmdo,
и, поскольку &nY/m =—j {j \)Y/m, то мы приходим к (7,5). К такому же интегралу сводится нормировка векторов Yy“’.
Заметим, что к шаровым векторам (7,4) можно было бы прийти и без произведенной выше прямой проверки уравнений (7,1) — уже на основании общих соображений о трансформационных свойствах функций. Такие соображения привели нас в предыдущем параграфе к выводу о том, что векторная функция вида п<р отвечает значению / момента, совпадающему с порядком шаровых функций, входящих в ф; если положить просто ф — YJm, то функция rup будет соответствовать также и определенному значению т проекции момента. Таким образом, мы сразу приходим к шаровым векторам Yj^. Но изложенные в § 6 рассуждения о трансформационных свойствах не изменятся, если заменить множитель п в произведении пф вектором vn или [nVn]; таким образом, мы получим шаровые векторы двух других типов.
Вернемся к волновым функциям фотона. Для фотона электрического типа (Ej) вектор А (к) должен обладать четностью (—1)Л Такую четность имеют шаровые векторы Yи Y'-™; из них, однако, лишь первый удовлетворяет условию поперечности. Для фотона магнитного типа (Mj) вектор А (к) должен иметь четность (—ly+1; такую четность имеет только шаровой вектор Y$?. Поэтому волновые функции фотона с определенным моментом / и его проекцией т (и энергией со)
