Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.
Скачать (прямая ссылка):
Скаляру sl4 приводится в соответствие «спин» 0, а потому момент отвечающих ему состояний J = L, т. е. четен. Тензору же s'ik соответствует «спин» 2 (см. III, § 57). Складывая по правилу сложения моментов этот «спин» с четным «орбитальным моментом» L, найдем, что при заданном четном J 0 возможны три состояния (с L — J± 2, J), а при нечетном J =? 1—два состояния (с L = J± 1). Исключение составляет /= О с одним состоянием (L = 2) и / = 1 с одним состоянием (L = 2).
В этих подсчетах, однако, еще не учтено условие ортогональности тензора sik вектору п. Поэтому из полученного числа состояний надо еще вычесть число состояний, которым соответствует симметричный тензор 2-го ранга, «параллельный» вектору п. Такой тензор (обозначим его s"lk) можно представить в виде
Sik = nibk-\-tikbi,
где b — некоторый вектор. Согласно (9,3) этот вектор должен удовлетворять условию Ь(—п) =— Ь(п). Таким образом, ответственный за «лишние» состояния тензор s”ik эквивалентен нечетному вектору. Этот вектор должен, следовательно, выражаться через шаровые функции только нечетных порядков L. Замечая также, что вектору соответствует «спин» 1, найдем, что для каждого четного момента J Ф§ возможны два состояния (с L = J ± 1), а для каждого нечетного J—одно состояние (с L = J)', особый случай представляет / = 0 с одним состоянием (L= 1).
Сводя вместе полученные результаты, получим следующую таблицу, указывающую число возможных четных и нечетных состояний системы из двух фотонов (с равной нулю суммой им-
СИСТЕМА ДВУХ ФОТОНОВ
51
пульсов) для различных значений полного момента J:
J Четные Нечетные
О 1 1
2k 2 1 (9,5)
26+1 1 —
—целое положительное число, отличное от нуля). Мы видим, что при нечетных J отсутствуют нечетные состояния, а значение /=1 вообще невозможно1).
Волновая функция системы двух фотонов Aik определяет корреляцию их поляризаций. Вероятность двум фотонам одновременно иметь определенные поляризации ех и е2 пропорциональна
Другими словами, если задана поляризация ех одного фотона, то поляризация второго е2 пропорциональна
е2 k™Aiksu- (9,6)
В нечетных состояниях системы Aik совпадает с антисимметричным тензором aik. При этом
еЖ cv aikeltelk = О,
т. е. поляризации обоих фотонов взаимно ортогональны. В случае линейной поляризации это означает перпендикулярность их направлений, а в случае круговых поляризаций —противоположность направлений вращения.
Четное состояние с J = 0 описывается симметричным тензором, сводящимся к скаляру
“ COnst ¦ (6(-? П,М^).
Поэтому из (9,6) получим e! = ej. В случае линейной поляризации это означает параллельность их направлений, а в случае круговых поляризаций — снова противоположность направлений вращения. Последнее обстоятельство очевидно заранее: при J = 0 во всяком случае должна быть равна нулю сумма проекций моментов фотонов на одно и то же направление к (проекции же на противоположные направления kj и к2, т. е. спиральности, при этом одинаковы).
¦*) Другой способ вывода этих результатов—см. задачу 1 к § 70.
ГЛАВА II БОЗОНЫ
§ 10. Волновое уравнение для частиц со спином 0
В главе I было показано, каким образом можно построить квантовое описание свободного электромагнитного поля, отправляясь при этом от известных свойств поля в классическом пределе и опираясь на представления обычной квантовой механики. Полученная таким образом схема описания поля как системы фотонов несет в себе многие черты, которые переносятся и на релятивистское описание частиц в квантовой теории.
Электромагнитное поле представляет собой систему с бесконечным числом степеней свободы. Для нее не существует закона сохранения числа частиц (фотонов), и в ряду его возможных состояний имеются состояния с произвольным числом частиц1). Но таким же свойством должны, вообще говоря, обладать в релятивистской теории также и системы любых частиц. Сохранение числа частиц в нерелятивистской теории связано с законом сохранения массы: сумма масс (масс покоя) частиц не меняется при их взаимодействии; сохранение же суммы масс, скажем, в системе электронов означает неизменность также и их числа. В релятивистской же механике закона сохранения массы не существует; должна сохраняться лишь полная энергия системы (включающая в себя также и энергии покоя частиц). Поэтому число частиц уже не должно сохраняться и тем самым всякая релятивистская теория частиц должна быть теорией систем с бесконечным числом степеней свободы. Другими словами, такая теория частиц приобретает характер теории поля.
Адекватным математическим аппаратом для описания систем с переменным числом частиц является аппарат вторичного квантования (III, §§ 64, 65). В квантовом описании электромагнитного поля в роли оператора вторичного квантования выступает 4-потенциал А. Он выражается через (координатные) волновые функции отдельных частиц (фотонов) и операторы их рождения и уничтожения. Аналогичную роль в описании системы частиц играет оператор квантованной волновой функции. Для его построения надо прежде всего знать вид волновой функции одной
!) Фактически, разумеется, число фотонов меняется лишь в результате различных процессов взаимодействия.
