Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.
Скачать (прямая ссылка):
При рассеянии на кулоновом (и вообще на медленно спадающем с расстоянием) потенциале |q|~l/p (р — прицельное расстояние),
х) Обратим внимание на то, что появление разности в этой формуле является естественным результатом калибровочной инвариантности: амплитуда реакции не должна меняться при замене 4-вектора поляризации е ¦—>- e+const-fe.
2) Для ее вывода удобно вернуться к (98,6), положив
р = (е, е\), pk = ea( 1—vn), ..., е = (0, е)
и произведя заново суммирование по поляризациям с помощью (45,4а).
478
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ
[Гл. X
так что это условие можно представить и в виде сот<<;1, где т ~ p/и — характерное время столкновения.
В ультрарелятивистском случае фотоны излучаются в основном в направлениях вблизи v или v' (как это видно из знаменателей в (98,8)). Если угол 0 рассеяния электрона мал, то направления всех трех векторов р, р', п близки друг к другу. Тогда
| Sq j = | Sp' | — J k | = со — 1 ^ “'”2
и поскольку | q | ~ e0, то мы получаем условие
(98,10)
Ввиду квазиклассического характера форд-гул (98,5—8) они справедливы для излучения любыми заряженными частицами (не обязательно электронами, для которых был проведен вывод). В общем случае, когда в реакции участвует несколько таких частиц, формула (98,5) должна быть записана в виде
Mfi = Mfr е /4S X Z ($г-|г) ’ <98’1 ^
где суммирование производится по всем частицам (с зарядами Ze)\ соответствующим образом меняются и формулы (98,6—8).
В частности, в нерелятивистском случае
Mfi = Mr»iV_!2.?2(у'_у)е*. (98)12)
Для двух частиц эта формула принимает вид
ми^ qe*,
*1 '1 со 07. n I
q^m(v'-v), т
со \ т1 т2
nil ~i- ^2
(98,13)
где v и v —относительная скорость частиц до и после столкновения. Интегрируя квадрат \Mfi\2 по направлениям вылета фотона и суммируя по направлениям его поляризации, получим отсюда нерелятивистское спектральное распределение излучения в виде
, , 2е2 (Z1 Z, \2 , da
do(0=dovm5— ----------- q2— .
ш УпРЗл \;т1 m2J ^ со
Полученные результаты обобщаются на случай одновременного излучения нескольких мягких фотонов. Для каждого из фотонов в амплитуду Mf; добавляется свой множитель того вида, который стоит при в (98,5). В этом легко убедиться
непосредственно, скажем, на примере двух фотонов. Линии обоих
§ 98] ИЗЛУЧЕНИЕ МЯГКИХ ФОТОНОВ ПРИ СТОЛКНОВЕНИЯХ 479
испускаемых фотонов должны добавляться на внешних электронных линиях, причем в двух различных последовательностях, т. е. диаграмма с внешней линией р заменяется на две диаграммы с линиями
Каждая из них содержит множитель (знаменатели электронных пропагаторов)
1______1_ r . 1________i_
2 (pk, + рк?) 2pk, ЬЛИ 2 (рк. + p.';,) 2pk, '
Их сумма равна
_1_______1_
2pi:- ‘ink, ’
т. е. содержит произведение двух независимых множителей, отвечающих первому и второму фотону. После этого в сумме псех
диаграмм члены собираются (в силу калибровочной инвариант-
ности) в произведение разностей
(Р^_Р<\ (р'е* р ’)
\p'kL p!'J\p'k2 ph,J •
Соответственно факторизации амплитуды, разбивается на множители также и сечение процесса. Таким образом, мягкие фотоны испускаются независимо. Сечение процесса с испусканием п мягких фотонов может быть представлено в виде
da = daynvdwl. . .dwn, (98,14)
где dwit dw.,, ...—вероятности отдельного испускания фотонов kit k2,. . . При интегрировании этой формулы по конечному интервалу значений переменных (частот и направлений), одинаковому для всех квантов, должен быть введен множитель 1 /п\, учитывающий тождественность фотонов.
Если проинтегрировать сечение излучения (98,1) по частотам в некотором конечном интервале от coj до сог, то мы получим выражение вида
dcr~ aln^cfoynp (98,15)
(ср. (98,8)). При этом подразумевается, что обе частоты мягкие, так что возможные значения со2 ограничены условием применимости метода. С логарифмической точностью, однако, можно положить со2 ~ е, где е —начальная энергия излучающей частицы. Значения же coi вообще ничем не ограничены снизу. Но устремив
480
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ
[Гл. X
Wi к нулю, мы видим, что сечение излучения всех возможных мягких квантов обращается в бесконечность. Выясним смысл этой ситуации — так называемой инфракрасной катастрофы (F. Bloch, A. Nordsieck, 1937).
При
a In J ;а> 1 (98,16)
будет da^dcrynp. Но это означает неприменимость теории возмущений — невозможность вычислять do как величину более высокого порядка малости, чем doynp. Другими словами, параметром малости должно считаться в данном случае не а, а произведение a In (e/coj).
Таким образом, вывод формул (98,5—6) на основе теории возмущений оказывается неверным при достаточно малых частотах. С другой стороны, классическая формула для интенсивности dl (II (69,4)) применима в тем большей степени, чем меньше со. Поэтому формула (98,1) останется правильной, если несколько видоизменить ее смысл в сторону большей классичности. Именно, в (98,1) подразумевалось, что излучается один фотон; тогда теряемая частицей на излучение энергия совпадает с со и «сечение относительной потери энергии» дается выражением со do/г, или
