Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.
Скачать (прямая ссылка):
е (л , о2А
X«p-7co^l-U+yj .
чли
Х = Р^(1+б2)> б = 08/т. (96,10)
Уже было упомянуто, что (96,5) есть вероятность испускания электрона при однократном прохождении электрона мимо ядра на прицельном расстоянии р. Сечение испускания фотона с заданными частотой и направлением получается умножением этой вероятности на dpx dp /v &dpx dpv =s d2p и интегрированием rio прицельным параметрам:
da = (|^ jla(P)N2P- (96,11)
Не следует, однако, думать, что эта формула, без интегрирования по dlр дала бы также и распределение конечных электронов по направлениям. Отклонение электрона при его движении по классической орбите однозначно определяется внешним полем и заведомо не совпадает с неопределенным квантовомеханическим отклонением (и предельное значение р' (оо) классической функции р' (/) не совпадает поэтому с реальным конечным значением импульса электрона). Для нахождения этого распределения необходимо, следовательно, переразложить волновую функцию электронов по плоским волнам.
Как видно из (96,11), а (р) есть амплитуда испускания фотона при столкновении на прицельном расстоянии р. Но выражения (96,5—6) определяют эту амплитуду лишь с точностью до фазового множителя. Последний есть, очевидно, e~ikf,— ввиду наличия не зависящего от времени члена гх(°°) = р в г(/), этот по-
х) Спиноры W{ и wj можно считать при интегрировании постоянными, т. е. можно пренебречь изменением поляризации электрона при его классическом ультрарелятивистском движении. Это можно усмотреть из уравнений, полученных в § 41.
§ 96] ТОРМОЗНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ В УЛЬТРАРЕЛЯТИВИСТСКОМ СЛУЧАЕ
467
стоянный множитель должен присутствовать в Vfi (t) и может быть вынесен из-под знака интеграла. Поскольку он не является оператором, он не затрагивается операциями коммутирования и, таким образом, амплитуда процесса испускания есть
e_ikpa(p), (96,12;
где а (р) дается выражением (96,9).
Пусть электрон описывается, при г —у—оо, плоской волной с импульсом р, направленным вдоль оси г. Это значит, что волновая функция электрона при 2 —— оо не зависит от х и у и сводится к постоянной, которую можно положить равной 1. Тогда волновая функция электрона, прошедшего через поле, при z—+oо есть г)
¦ф (оо) = S (р) =ехр |—i J U (х, у, z) dz j . (96,13)
С другой стороны, по смыслу амплитуды перехода (96,12) волновая функция электрона, прошедшего через поле и испустившего фотон, есть
e~ikP а (р) S (р). (96,14)
Амплитуда же процесса испускания фотона, в котором электрон остается в состоянии с определенным импульсом р', дается соответствующей фурье-компонентой функции (96,14), т. е. выражением
a(q_i_) = ^ е~Ср'ре-‘кр а(р) S (р) d2р= J e~tqJ-p а (р) S (p)d2p, (96,15)
где q_L—поперечная компонента вектора передачи импульса ядру (ср. 111(131,7)). Сечение же рассеяния с заданным значением q± есть
«ОН* (Я <96'1б>
Вычислим теперь S (р). В рассматриваемом случае кулонового поля интеграл в экспоненте расходится, в соответствии с расходимостью фазы в кулоновом рассеянии. Поэтому интеграл надо
*) Ср. Ill, § 131, формула (131,4). Мы имеем при этом в виду аналогию между уравнением (39,5) (в котором полагаем р2«е2) и нерелятивистским уравнением Шредингера (39,5а). Учитывая различие в коэффициентах в этих уравнениях, легко видеть, что в нашем случае условие III (131,1) применимости уравнения III (131,4) действительно удовлетворяется. Тот факт, что эта формула не относится к области сколь угодно больших г, не существен по тем же причинам, что и в III, § 131.
468
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С, ФОТОНАМИ
[Гл. X
брать между конечными пределами:
R R
С Udz^=— 2v С - у-If - = —2v Tin (/? + ]/ + P2)— lnpl»
Л о y^+^-
« —2vln R -j-2v In p (R^>p). Первый, постоянный, член не существен, так что
5 (р) = ехр (—2г v In р) =р-2'4’. (96,17)
Подставляя (96,9), (96,17) в (96,15) и интегрируя по направлениям вектора р в плоскости ху, находим
a (qjcvv^ р-/^1 (yj ji (9iP) р t/p, (96,18)
О
где /j —функция Бесселя. Множители, не содержащие v = Za, здесь не выписаны.
Мы видим, что зависимость амплитуды a (qx) (а следовательно, и сечения (96,16)) от v содержится в отдельном множителе. С другой стороны, при v —0 сечение должно стремиться к своему борновскому значению. Поэтому ясно, что сечение будет отличаться от борновского лишь множителем, который не зависит от поляризации электрона и не влияет на поляризационные эффекты.
Интеграл (96,18) может быть выражен через гипергеометри-ческую функцию с помощью формулы
J х~кКх (ах) (bx) xdx~
ЬТ (2 — К/2) Г (1 —Я/2) / , -1 + Л./3 (% , х Q ь2 \
2Ka3~K V a2/ /^2’ 2 ’ fl2 + i2y
Это дает
а (Я±) v (1 —IV) (-2")2IVr2 (1 —iv)F(iv, 1—iv, 2, г), (96,19)
где
б = ^ (96,20)
здесь использовано, что в области II (см. (96,2)) параллельная р компонента вектора q
^=92-q21«^r(l + 62)2. (96,21)
В этом легко убедиться, если учесть, что в этой области углы между импульсами р, р' и к удовлетворяют условиям (93,15).
§ 96] ТОРМОЗНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ В УЛЬТРАРЕЛЯТИВИСТСКОМ СЛУЧАЕ 409
Гипергеометрическая функция в (96,19) может быть сведена к функции F (г) (95,15) с помощью формулы
