Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.
Скачать (прямая ссылка):
V 1 ~-^~=У 1
V СОпСО V
т
jqlu г Ol/
Перейдя к переменной v вместо со', имеем
а=2 r2eaZ
1
J v In ~ (1 — v‘l) — v*) in ^ — 2v (2 — tJ2)jcfo.
Если учесть сходимость интеграла на верхнем пределе, то интегрирование распространяется на всю область от порога реакции со'=т (у=0) до со' = оо (и=1) и производится с логарифмической точностью (т. е. логарифм 1п[со(1—v2)jm] заменяется его значением при о = 0 и выносится из-под знака интеграла). В результате получим
28 ,, j. со
0= тг “2 ге ш —
9 т
в согласии с (94,6); формула справедлива при 1п(со/т)^>1.
§ 100]
ОБРАЗОВАНИЕ ПАР ПРИ СТОЛКНОВЕНИЯХ ЧАСТИЦ
489
§ 100. Образование пар при столкновениях частиц
Образование электронной пары при столкновении двух заряженных частиц описывается диаграммами двух типов:
(100,1)
Р- ~Р+ Р~ ~Р+
а) 5)
Две верхние сплошные линии отвечают сталкивающимся частицам, нижняя — рождающейся паре.
Рассмотрим в ультрарелятивистском случае столкновение двух тяжелых частиц (ядер). Изменением состояния движения самих этих частиц при таком столкновении можно пренебречь, т. е. можно рассматривать их как источники внешнего поля*). Этому отвечают две диаграммы первого типа:
I f} | q(2) \дО)
II 11
1 I
¦Хе-- ^—st-
(100,2)
P- P ~P+ P- P -P+
где <7(1), g<2) — «импульсы» компонент Фурье полей двух частиц.
Потенциал А^ = (Ай, А), создаваемый равномерно движущейся со скоростью v классической частицей, удовлетворяет уравнениям
? А0 = —4nZe8 (г — \t—г0),
? А = —4irZev6 (г — \t — г0).
Его компоненты Фурье
А0 (<о, к) = — е~‘кг° б (ft) — kv) и аналогично для А (о, к). В четырехмерном виде Аи (9) = — е^о и» б (Uq),
где U — 4-скорость частицы, а 4-вектор хо = (0, г0). Если ядро 1 покоится в начале координат (г?) = 0), то р = г‘02) есть вектор прицельного расстояния (в плоскости, перпендикулярной направлению движения ядра 2). Это выражение для A11 (q) и должно использоваться при аналитической записи диаграмм (100,2).
х) Случай столкновения двух легких частиц (электронов), изменением движения которых нельзя пренебречь, значительно более сложен. См. об этом указанную на стр. 449 книгу Байера, Каткова и Фадина.
490
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ
[Гл. X
В фактическом проведении вычислений этим способом в данном случае, однако, нет необходимости. Сечение образования пары может быть определено с помощью метода эквивалентных фотонов по известному уже нам сечению образования пары фоп> ном на ядре. Замена поля одной из частиц (скажем, перЕой) спектром эквивалентных фотонов означает, что в диаграммах (100.2) линии qa) рассматриваются как линии реальных фотонов. Совокупность этих двух диаграмм становится тогда тождественной с совокупностью диаграмм, отвечающих образованию пары фотоном на ядре 2. При е+, е_ ^>т сечение последнего процесса дается формулой (94,5). Умножив это выражение на спектр (99,16) эквивалентных фотонов первого ядра, получим (с логарифмической точностью) дифференциальное сечение образования пары при столкновении частиц:
верхнее неравенство есть условие применимости метода эквивалентных фотонов. В то же время область, определяемая неравенствами (100,4), совпадает с областью энергий электрона и позитрона, существенных при интегрировании выражения (100,3). При интегрировании по de+ или de_ при заданной сумме = е++е_(^>т) существенна область вблизи верхнего предела; отбрасывая члены, не содержащие большого логарифма, получии
Интеграл по dB, взятый по области (100,4), расходится как куб логарифма, а на краях этой области —лишь как квадрат логарифма. В логарифмическом приближении (lny^> 1), следовательно, область (100,4) действительно основная, и интеграл может быть взят в пределах от т до ту. Имеем
(100,3)
где v = l/j/l-u2>l.
Здесь предполагается, что
т<^.е+, е_ <^ту;
(100,4)
da = -jp- r| (Z^a)2 In — In — —.
9л e ' 1 i ' m ее
v
так что полное сечение образования пары
(100,5)
(Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц, 1934).
§ 100]
ОБРАЗОВАНИЕ ПАР ПРИ СТОЛКНОВЕНИЯХ ЧАСТИЦ
491
Рассмотрим теперь случай нерелятивистских скоростей сталкивающихся ядер. В этом случае становится существенным изменение движения ядер под влиянием их взаимодействия, и основной вклад в сечение образования пары дают диаграммы второго типа в (100,1). Таких диаграмм имеется четыре: две диаграммы
Pj <---1--*—Р/ Pi'*----1---*—Pi
Рг *—r“*-J-------P2 *—1—Iм" * pe (100,6)
\k \u
P- *—L-*- -P+ p~ *-----L—«- ~p+
и еще две аналогичные, в которых виртуальный фотон k (рождающий пару) испускается первым, а не вторым ядром1).
Будем считать, что энергия пары мала по сравнению с кинетической энергией относительного движения ядер в системе их центра инерции:
e+ + e_<^f (100,7)
(v — начальная относительная скорость, М =M1M2l(M1JrM2) — приведенная масса ядер). Тогда можно пренебречь обратным влиянием рождения пары на движение ядер. Если в диаграммах (100,6) убрать электрон-позитронную линию, то оставшиеся их части будут изображать испускание сталкивающимися частицами виртуального фотона малой частоты (со = е+ + б_). Мы возвращаемся, таким образом, к ситуации, рассмотренной в § 98 для испускания реального мягкого фотона, и можем воспользоваться полученной там для нерелятивистского случая формулой (98,13) (с тем отличием, что вместо амплитуды ]/ 4яе* реального фотона будет стоять пропагатор виртуального фотона2). Таким образом, амплитуда всего процесса рождения пары запишется в виде
