Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим монохроматическую плоскую волну, для определенности циркулярно поляризованную. Ее 4-потенциал напишем в виде
Л =a1cos<p + a2 sin<p, q> = kx, (101,2)
где &u = (co, k)—-волновой 4-вектор (?2 = 0), а 4-амплитуды и а2 одинаковы по величине и взаимно ортогональны:
a\ = a\ = di, а1а2 = 0.
Будем предполагать потенциал калиброванным условием Лоренца, так что alk = aik = 0.
Точная волновая функция для электрона в поле произвольной плоской электромагнитной волны была найдена в § 40 и дается формулами (40,7—8). Изменим, однако, ее нормировку: потребуем, чтобы т!рр отвечала равной единице средней пространственной плотности числа частиц,— подобно тому как мы нормируем волновые функции свободных частиц «на одну частицу в единичном объеме». Поскольку для функции (40,7) средняя плотность равна /о = ?о/Ро> т0 Для получения требуемой нормировки надо умножить ее на У p0/q0, т. е. надо заменить в (40,7) множитель 1/|/2р0 на ljyr2q(). Для волны с 4-потенциалом (101,2) получим
^ = {1 + 2Щ ^ cos ф + № sin ф } y^kx
xexpj—iei^sin9+ie-|^cos<p — iqx^, (101,3)
§ 101]
ИЗЛУЧЕНИЕ ФОТОНА ЭЛЕКТРОНОМ
495
где
? = (101’4)
Согласно (40,14) 4-вектор q — средний кинетический 4-импульс
электрона; будем называть его квазиимпульсом.
Элемент S-матрицы для перехода электрона из состояния ify, в состояние ijy с излучением фотона с 4-импульсом №' = (&', к') и 4-вектором поляризации е':
Г — ptk'x
Sfi = —ie J Цр>(уе'*)\1рру==-й*х. (101,5)
Подынтегральное выражение в (101,5) представляет собой линей* ную комбинацию величин
Р’
ехр (—iat sin ф + ia2 cos ф) • < cos ф,
[ sin ф,
где
*-(??-#)• <*-(?-#)•
Вместе с множителем ехр [i (k' -f- р' — р) х] эти величины выделяют всю зависимость подынтегрального выражения от х.
Разложим их в ряды Фурье, обозначив коэффициенты разложения соответственно через Bs, Bls, B2S, например:
ехр (—iax sin ф -f ia2 cos ф) =
— exp(— j jAxJ + ajjsin^—ф0))= 2 Bse-lsf.
S= — оо
Эти коэффициенты выражаются через функции Бесселя согласно формулам:
BS = JS (z)e^,
Bis = j [Js+1 (z) е< + Jt_t (z) е( <*-(101,7)
= Yi ^ ei (S+1) Ф° “ W et(,‘1)H
где z = V~al-\-a22, cos ф„ = 0^/2, s'mq>0 = a2/z. Функции Bs, Bls, B2S связаны между собой соотношением
“i Bls + a2B2s = sBs, (101,8)
которое является следствием известного соотношения для функций Бесселя:
У,_! (2) + /,+1 (2) = 2sJs (г)/г.
496
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ
[Гл. X
В результате матричный элемент (101,5) приобретает вид
” “ (ыъМГ’Я ^ Р">‘ ¦•6“’ & + 1-1--П (101,9)
S
довольно громоздкие выражения для амплитуд М$ мы не станем здесь выписывать. Таким образом, Sf! представляет собой бесконечную сумму членов, каждому из которых соответствует закон сохранения
sk + q = q' + k'. (101,10)
Поскольку
qt = q't = mt(l+ll) = m\ (101,11)
(ср. (40,15)), a k2 = k,% = 0, то равенство (101,10) возможно лишь
для s> 1. s-й член суммы описывает излучение фотона k' за
счет поглощения из волны s фотонов с 4-импульсами k. Из вида равенства (101,10) очевидно, что все кинематические соотношения, имевшие место для эффекта Комптона, будут относиться к рассматриваемым процессам, если заменить импульсы электрона квазиимпульсами q, а импульс падающего фотона — 4-вектором sk. В частности, для частоты излучаемого фотона в системе отсчета, где электрон в среднем покоится (q = 0, q0 = m,), имеем
=^------------------------• (101’12>
(1 —cos 0)
т*
где 0 —угол между к и к' (ср. (86,8)). Можно сказать, что частоты со' являются гармониками частоты со.
В принятых нами обозначениях (§ 64) амплитуда процесса излучения s-й гармоники совпадает с Mff, а выражение
dW* = I Is ,0 '(2я)4 6(41 (sk+q-q'-kf) (101,13)
(2л)ь 2а 2q02q0
дает соответствующую дифференциальную вероятность (отнесенную к единичному объему и к единице времени)1).
Структура амплитуд M/f подобна структуре амплитуд рассеяния с плоскими волнами: и(р’) ... и(р). Поэтому и операции суммирования по поляризациям частиц производятся обычным образом. После суммирования по поляризациям конечных электрона и фотона и усреднения по поляризациям начального
!) Обратим внимание на то, что нормировка функций гр? на единичную плотность отвечает иормировке на 6-функцию «по шкале q/2ii» (ср. (40,17), где множитель qB/p0 в правой стороне равенства будет теперь отсутствовать). Именно поэтому число конечных состояний электрона должно измеряться элементом d?q'/'(2л):).
§ 101]
ИЗЛУЧЕНИЕ ФОТОНА ЭЛЕКТРОНОМ
497
электрона получается
dWs = ~ ЩХ 6(4) (sk + q- q' —k’) X
4 4л q0q'Ba' v 4 4 '
X | 2J\ (г) + ( 1 +^pjm) {JU + JU~2^} - (101’14)
Для интегрирования этого выражения замечаем, что ввиду аксиальной симметрии поля циркулярно поляризованной волны дифференциальная вероятность не зависит от общего азимутального угла ф вокруг направления к. Вместе с наличием 6-функции это обстоятельство дает возможность произвести интегрирование по всем переменным, кроме одной; в качестве последней выберем инвариантную величину и~ (kk')l(kp'). Тогда после интегрирования по d3kd(pd(q,0Jr()i') имеем
с , , г и/\ cPq'cPk' 2л du
Действительно, в системе центра инерции (система, в которой sk + q=q + k'=0) указанное интегрирование дает 2п | q' | dcos Q/Es, где Es = sco + q0 = со' -f q'0, a 0 —угол между k и q' (ср. преобразование (64,12)). С другой стороны, в этой же системе
