Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.
Скачать (прямая ссылка):
(97,4)
х) Изложение соответствующих вычислений можно найти в указанной на стр. 449 книге Байера, Каткова и Фадина.
472 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ G ФОТОНАМИ [Гл. X
Для справедливости формул (97,2—5) необходимо, чтобы хоть один из электронов после излучения оставался ультрарелятиви-стским. Другими словами, частота фотона должна быть достаточно далека от жесткой границы спектра, т. е. от максимальной частоты сотах, которая может быть излучена. Конечная энергия электрон эв будет минимальна, а энергия фотона максимальна, когда
оба электрона движутся после излучения в направлении фотона
и имеют одинаковые скорости. Тогда из законов сохранения имеем
e-f-m = a)max-f-2е', ] р | =o)max+ 2 [ р'|.
Исключив отсюда е' и р', получим
(e-f-m — шшах)2-(| р | -сотах)3 = 4т2,
откуда
т (е—т) /с.ч
К>тах = --г-------. (97,6)
тах т + е —| р | v > /
При е^>т имеем сотах да е. Таким образом, формулы (97,2—4) справедливы при условии
о)тзх —со~ е —со^>т. (97,7)
Сечение излучения быстрым электроном (97,2) в точности совпадает с сечением излучения электрона на ядре с Z = 1 (формула
(93,17)). .tJto совпадение не случайно, и его причины выясняются из анализа роли отдачи в процессе излучения.
При выводе формулы (93,17) мы пренебрегли отдачей неподвижной частицы (ядра) — заменили ее постоянным внешним полем. Это сводится к пренебрежению временной компонентой 4-вектора передачи импульса q ~ р' — р -\-k (энергией отдачи). Покажем, что в ультрарелятивистском случае такое пренебрежение допустимо при излучении электроном не только на ядре, но и на электроне. Напишем q1 в виде
— q-== — (е' -(-со — е)г + (pfo -(-© — Р\\)г(pi —P_l)2i (97,8)
где нижние индексы указывают компоненты векторов р' и р (начальный и конечный импульсы электрона), параллельные и перпендикулярные направлению фотона к. В ультрарелятивистском случае углы 0 и 0' (между к и соответственно р и р') малы: в^т/е, О'^т/е'. Поэтому
|pi|~|p|0~m,
№9)
и аналогично для р' , р' .
Без учета отдачи имеем е'+со —е=0; разность pj+co — рц^т2/6> так что
— 9? да (p'_L — рх)2 ~т?. (97,10)
f 97J ТОРМОЗНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ ЭЛЕКТРОНА НА ЭЛЕКТРОНЕ
473
Энергия отдачи (на электроне):
90 = б' + со — (97,11)
Изменением же р'х из-за изменения е' можно пренебречь. Поэтому первые два члена в (97,8) дают изменение q2 при учете отдачи; обозначим его через Aq2. Используя (97,9), получим
А92~(е'+“-е)(-^-^+т+т)~т2т-
Сравнив с (97,10), мы видим, чго А93| J, чем и оправдывается пренебрежение отдачей х).
Тот факт, что быстрая частица излучает в узкий конус (с углом раствора ~т/е) в направлении своего движения, позволяет получить сечение излучения в системе центра инерции путем простого пересчета сечения (97,2) из лабораторной системы2).
В системе центра инерции оба электрона излучают одинаково, каждый в направлении своего движения (это обстоятельство наглядно объясняет причину отсутствия интерференции между излучениями обеих частиц). Энергия ультрарелятивистского электрона в системе центра инерции связана с его энергией е в лабораторной системе соотношением 2Е'2 = те, а частоты й и со фотона в этих системах — соотношением со/е = Q/E (эти равенства легко получить, сравнивая значения инвариантов (PiP2) и (рJi) в обеих системах). Поэтому для сечения излучения каждым из электронов в системе центра инерции находим
da(1> = dCT(2> =
= + (97,12)
Для применимости (97,12) также необходимо, чтобы частота фотона не была близка к границе спектра. Для ультрарелятиви-стской частицы указанное выше преобразование прямо дает из
®шах ~ 6
^max ^ “шах ^ Е- (97,13)
Таким образом, в системе центра инерции электроны могут излучить лишь половину своей полной энергии 2Е. Прямое вычисление ?2тах легко произвести, заметив, что после излучения такого фотона электроны будут двигаться (в той же системе) с одинако-
г) Это заключение, разумеется, тем более справедливо для излучения электроном на ядре, для которого энергия отдачи q0xq2!2M~m2/M, где М—масса ядра.
2) В общем случае такой пересчет невозможен, поскольку вклад в спектр
Р заданном интервале частот dw возникает от фотонов, излученных в сущест-
венно различных направлениях.
474
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ
1Гл. X
выми скоростями в направлении, обратном направлению фотона. Имеем
2Е — 2Е' -f Qmax, 2|p'|=fimax,
откуда
Qm3x = P- = ?-J, (97,14)
и в ультрарелятивистском случае снова получаем (97,13). Таким образом, формула (97,12) применима при условии
Qinax-Q~?-Q>m. (97,15)
Приведем теперь формулы для излучения в системе центра инерции в обратном предельном случае, вблизи границы спектра, когдах)
Qmax-f)<m. (97,16)
Поскольку в этом случае отдача весьма существенна, результаты отличаются от случая рассеяния на неподвижном центре и оказываются различными для электрон-электроиного и электрон-позитронного рассеяния (В.Н. Байер, B.C. Фадин, В. А. Хозе, 1967.)
В случае рассеяния электрона на электроне, кроме квадратов диаграмм (97,1), вклад в сечение излучения вблизи границы спектра дают также произведения (интерференционные члены) прямых и обменных диаграмм, в которых излучает одна и та же начальная частица, например произведение второй из диаграмм (97,1а) и диаграммы
