Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.
Скачать (прямая ссылка):
§ 96] ТОРМОЗНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ В УЛЬТРАРЕЛЯТИВИСТСКОМ СЛУЧАЕ 463,
где
jL* п(п2- j~V2) ’ п= 1
(95,19)
f (v) =у [Y (1 +1¦v) + 4 (1 - tv) - 2?( 1)] = v
. Т(2)=Г(г)/Г(г).
Подставив все найденные выражения в (95,18), получим следующую окончательную формулу:
- 6 + е.
in
dsH
— T-f{ctZ)
'(95,20)
Полное сечение образования пары фотоном с энергией со:
28
° ~ ~9~
109 42
2 со
-ZMr;
¦f(aZ) . (95,21)
Мы видим, что в этих формулах изменения сводятся к вычитанию из логарифма универсальной функции атомного номера f (aZ). На рис. 18 дан график этой функции. При v<^l /(v)«l,2v2.
§ 96. Точная теория тормозного излучения в ультрарелятивистском случае
Матричный элемент для тормозного излучения Mft = \ ^~p* (ае*)e~ikr ^ d3x;
(96,1)
волновые функции начального (е, р) и конечного (е', р') электронов содержат в своих асимптотиках соответственно выходящую и входящую сферические волны. Вычисление этого интеграла аналогично вычислению матричного элемента (95,2). Мы, однако, изложим здесь другой способ вычисления сечения тормозного излучения, основанный на квазиклассичности процесса и не использующий явного вида волновых функций электрона в поле ядра; в этом смысле метод не связан с конкретным видом потенциала поля (В. Н. Байер, В. М. Катков, 1968).
В процессе тормозного излучения ядро передает электрону и фотону импульс q = p' + k —р. Как и в задаче о рождении пар, надо различать две области значений передачи импульса qx,
464
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ
[Гл. X
поперечной по отношению к р:
I) т ^ qх. com2/'e2, II) q~ сот2/е2 <^т. (96,2)
Очевидно, что в области I сечение испускания фотона дается своим борновским значением: для таких qj_ импульс отдачи ядра несуществен, как это будет показано ниже в § 98 (см. вывод условия (98,10)). Поэтому в области I сечение процесса равно произведению точного сечения рассеяния электрона в поле неподвижного ядра и вероятности испускания фотона, не зависящей от вида поля. Но согласно (80,10) сечение рассеяния в ку-лоновом поле для малых углов совпадает со своим борновским значением. То же самое относится поэтому к сечению всего процесса в области I.
Таким образом, требует особого рассмотрения только область II. Малым передачам импульса отвечает прохождение электрона мимо ядра на больших прицельных расстояниях: р~ l/q^-^E/iri2. Но на таких расстояниях движение электрона заведомо квазиклассично, в чем легко убедиться простым применением обычного условия квазиклассичностн III (46,7) к ультрарелятивистскому уравнению (39,5).
Квазиклассичность движения позволяет применить метод, использованный уже в § 90 для магнитотормозного излучения. При этом выражение (90,7) в данном случае представляет собой вероятность испускания при однократном прохождении электрона мимо ядра. "
Для фигурировавшей в § 90 функции L остается в силе формула (90,18); единственное отличие состоит в форме квазиклас-сической траектории электрона г = г (/), по которой вычисляется разность r2 —rt.
На больших прицельных расстояниях поле ядра можно считать слабым. В нулевом приближении траектория представляет собой прямую, проходящую на расстоянии р от центра. В следующем приближении имеем уравнение движения (ср. I, § 20)
где р — вектор в плоскости ху, перпендикулярной начальному импульсу электрона, а в качестве г в правой стороне уравнения следует взять функцию нулевого приближения:
dp р dU
dt г dr ’
Г j/p2-fw2/2 »]/р2+/2 .
Следовательно,
(96,3)
§96] ТОРМОЗНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ В УЛЬТРАРЕЛЯТИВИСТЕКОМ СЛУЧАЕ 465
С достаточной точностью скорость v(/)=p(/)/e (где энергия е зависит только от величины, но не от направления р) можно считать постоянной. Еще одно интегрирование дает тогда
t
г (t)—ry = vx (t — fx) — j [p (O -Pi]dt'. (96,4)
11
Мы положим tl~—¦ oo, так что величины px = p(—oo) = p и v = p/e будут начальными импульсом и скоростью электрона. Представим вероятность (90,7) в виде
dw = \a(p)\2-~-, (96,5)
где
00
а(р)=е ]/^- j Я(0ехр ji-J-H — kr(0)}^, (96,6)
— 00
Здесь е' =е — со, р' (t) =р (t) — к. Классическая функция р(/) дается формулой (96,3). Если р —начальный импульс электрона, то для кулонового поля (U = — v/л, v=Za) имеем
р (/) — р — -у f-v:.4 г—4-1
w р2-1JV+'2
Введя передачу импульса в классическом рассеянии
Д = р (оо) — р (—oo) = —2pv/p2, (96,7)
можно переписать эти формулы как
P(0=P + -JA
r(0 = fp + iA)| + |^' + p2- (96’8)
Используя теперь формулу (90,20) для R (t) и выражения
(96,8) для р (t) и г(^), можно произвести интегрирование по времени в (96,6). Оно осуществляется путем введения переменной
вместо t и использованием формулы
466
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ
[Гл. X
где /Cj—функция Макдональда. В полном проведении этого вычисления, однако, нет необходимости, поскольку нам требуется выражение а (р) лишь для малых значений независимого параметра А (Д <фтг). В этом случае находим
a(p) = w^DwrA%K1(%), (96,9)
где
0)8 , т ч
% = Р ^7 О ПУ),
n = k/co, a D—некоторая функция р, е и к (но не р), точный вид которой не существен1). Поскольку в ультрарелятивистском случае фотон испускается под малым углом 0 к направлению скорости электрона, имеем
