Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.
Скачать (прямая ссылка):
п («>) du> = -^- Za In У—- — . (99,16)
Принятое приближение означает, что численный коэффициент в аргументе логарифма остается неопределенным: введение такого коэффициента означало бы прибавление к большому логарифму относительно малой величины (~1) и представляло бы собой превышение допустимой точности.
Задачи
1. Найти сечение тормозного излучения при столкновении быстрого электрона с ядром, исходя из сечения рассеяния фотонов на электроне.
Решение. В системе отсчета Къ в которой электрон до столкновения покоился, процесс можно рассматривать как рассеяние на электроне эквивалентных фотонов поля ядра1). Согласно (86,10) сечение рассеяния фотона электроном в системе К\
/ /ч 2 т dcoi
“^расс (Oi) —ЗТГе
(01
Wl
(01
(0i
т
(¦>1
т
(0i
— 2 т
_1_
(01
_1_
(01
(О
где о>1 и (Oi—начальная и конечная энергии фотона в этой системе. Сечение тормозного излучения в системе
ЛТизл (“0—^ d(0i• п ((Ox) dcfpacc (coi, (Oi),
(2)
где л ((Oi)—функция (99,16). Ввиду инвариантности сечения переход к системе отсчета К, в которой покоится ядро, сводится к преобразованию частоты coi. Частоты и! и о' в системах Ki и К связаны формулой Доплера
W=T' (3)
У 1 —v2
со' = y01! (1—t-’cosGj), у = -
*) Рассеяние же виртуальных фотонов на ядре (в системе покоя ядра) исключается большой массой последнего: сечение рассеяния стремится к нулю при увеличении массы рассеивающей частицы.
МЕТОД ЭКВИВАЛЕНТНЫХ ФОТОНОВ
487
где —угол рассеяния в системе Ki¦ Этот же угол связывает ш! с (Bi со-
гласно (86,8):
—-=— (1—cosGJ. (4)
(Bi т '
Из (3) и (4) находим
t g*
toi = oil —, (5)
e
где e = my и s' — начальная и конечная энергии электрона в системе f(
(и— е' = со'). Подставив (5) в (1), получим
»md<?> ( е . е , т2со 2 2тсо \
= ПГе----------------Ь-ГТ------------------------5-Г •
ecoi V е е e'2coi «Iе /
Это выражение надо подставить в (2) и интегрировать по dcot при заданном а/ (т. е. заданном е') в пределах между
_2есо' _тш'
и1тах —"1 " » ©lmin — "2р"
(эти значения получаются из (3) — (4) при 0т = 0 и 01 = л). Ввиду быстрой сходимости интеграла при больших со! главный вклад в него дает область щ вблизи нижнего предела (т. е. можно положить max —> оо). Вычисляя интеграл с логарифмической точностью1), получаем
. о da>' е' ( е . s' 2 \ ее'
da,i31i = ireaZ — — — -А--------------— 1п—
изл со' s V е' 1 е 3 J пил
Для справедливости этого результата, помимо условия е^>т (ультраре-лятивистский электрон), должно выполняться условие (99,11): существенные при интегрироеании частоты co1~co!mjn должны быть е. Отсюда ё— е' = = со'^ее'//п. В этих условиях полученный результат, как и следовало, совпадает с логарифмической точностью с (93,17).
2. То же для тормозного излучения электрона на электроне.
Решение. В этом случае виртуальный фотон может рассеиваться либо на быстром электроне, либо на электроне отдачи; фотоны, эквивалентные полю одного электрона, рассеиваются на другом, и наоборот. Рассеяние виртуальных фотонов на быстром электроне дает сечение da^ijъ совпадающее С сечением излучения электрона на ядре с 2=1.
Рассеяние же виртуальных фотонов на электроне отдачи дает сечение излучения
dOnsji — ^ dco*/1 (со) cfopacc (^f (в )
с dcipacc (w> w*)—из (1) (с соответствующим изменением обозначений частот). Для области значений, пробегаемых со при заданном со', имеем (ср. (4))
т
< оо при с/ > ;
со' , „ т
при а' < —.
1) Это значит, что путем однократного интегрирования по частям выделяем член, содержащий большой логарифм, а остальными членами пренебрегаем. Эта операция сводится к вынесению логарифма ln(e/coi) из-под знака интеграла при значении co1 = colmin.
488
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ
1-Гл. X
При со' < т/2 интегрирование по dot дает
, <2) 16 2 d(?>' (, со' , а>’2\ е
йа„зл =-rCire— 1---------------4----In
изл 3 е со' V т т1 j со'
в согласии с (97,4). Если же со' > и/2, то надо различать случаи со' ~т и сй' ~г^> т. В первом случае получаем
, (2> 2 2 т rfco' ( . т . т2 \ , г
doизл=-Т аге—гг- 4-----------г+-7-т^ 1п—
3 со 2 V и' 1 4со 2 / гп
в согласии с (97,3) (в аргументе логарифма мы заменили с требуемой точностью е/со' на е/m). В случае же оУ — е метод эквивалентных фотонов вообще неприменим для вычисления с/ст'Гзл. Частота виртуальных фотонов со пробегает значения, начиная от со', и при со = со'~е, следовательно, не выполняется условие (99,11).
3. Определить полное сечение образования пары при столкновении фотона с ядром, исходя из сечения образования пары при столкновении двух фотонов.
Решение. Энергия фотона в системе покоя ядра (система К):ы^>т. Перейдем в систему отсчета К0, в которой ядро движется навстречу фотону со скоростью г0 такой, что
Vi-
В этой системе энергия фотона
'2т'
У л -.2
t’o
2
I 1-.:. т.
Искомое сечение о вычисляем в системе К о как сечение образования пары при столкновениях падающего фотона со0 с эквивалентными фотонами ядра, энергии которых обозначим через со':
0= J OyVn (со') dw',
где ст-уy — сечение образования пары двумя фотонами; оно дается полученной в задаче к § 88 формулой (1), в которой надо положить
