Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Берестецкий В.Б. -> "Квантовая электродинамика" -> 170

Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.

Берестецкий В.Б., Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П. Квантовая электродинамика — Физматлит, 2001. — 708 c.
Скачать (прямая ссылка): kvantovayaelektrodinamika2001.pdf
Предыдущая << 1 .. 164 165 166 167 168 169 < 170 > 171 172 173 174 175 176 .. 247 >> Следующая

Итак, будем считать частицу М ультрарелятивистской: ее энергия (в системе покоя частицы т)г'^>М. Если массы сталкивающихся частиц т и М различны, то для определенности будем считать, что т<М.
Амплитуду процесса а) (с участием реального фотона) можно представить в виде
Що = — е|/г4п (99,2)
где вц — 4-вектор поляризации фотона, а .Р—ток перехода, отвечающий вершине (кружок) диаграммы. Амплитуда же процесса б)
Мл = ге2^а^), (99,3)
где /д—ток перехода частицы т (нижняя вершина диаграммы); Ze—заряд этой частицы. Ток J—функция от k = Q—q и потому в обоих случаях различен: Аа = 0 в (99,2) и в (99,3). Но
если во втором случае
| (99,4)
то и здесь можно взять J при &2 = 0.
Изменение импульса частицы М при испускании виртуального фотона, р—р'=к, мало по сравнению с ее первоначальным
импульсом | р | « е; поэтому в токе перехода / можно положить
р = р'. Другими словами, рассматриваем движение частицы М как прямолинейное и равномерное. Поскольку такое движение квази-
х) Излагаемый ниже метод был разработан Вейцзеккером и Вильямсом (К. Weizsacker, Е. J. Williams, 1934); основная идея этого метода была еще раньше высказана Ферми (Е. Fermi, 1924).
484
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ
[Гл. X
классично, то соответствующий ток не зависит от спина частицы *):
= (99,5)
Условие иоперечностн тока (jk = 0) дает теперь есо—pxkx = 0, где ось х выбрана в направлении р. Отсюда
(o = vkx, (99,6)
где v = px/e — скорость частицы М. Поскольку
= _ со2 + k\: + ki да со2 (1 — v2) + kl (99,7)
(kx—-поперечная к оси х составляющая вектора к), то условие
(99,4) эквивалентно неравенству |kij<<cm и значительно более слабому неравенству для со: ю < т I 1—и2.
Далее, из условия поперечности тока J(Jk = 0) следует при использовании (99,6)
J — — -I-
0 V СО
Поэтому для скалярного произведения jJ получим
jJ = 2(JaB-JxPx)&2?(k±J±+^Jx). (99,8)
Произведение же Je в (99,2) раскроем, выбрав 4-вектор поляризации реального фотона в трехмерно поперечной калибровке: ek = — ek = 0, откуда ехда — е^к^/со. Тогда
ye = -e1(j1-^4). (99,9)
Сравним выражения (99,8) и (99,9). Они окажутся пропорциональными друг другу, если можно пренебречь вторыми членами в скобках. Поскольку ток J относится к верхнему узлу диаграммы (99,16), он не связан с направлением р; поэтому Jx и Jj_ надо считать величинами одного порядка. Допустимость указанного пренебрежения требует, следовательно, соблюдения условий |kj_|<^ со и со <<; е2 ] kj_ | ,/М2; эти условия не противоречат предыдущим условиям, уже наложенным на kj_ и со.
Приняв, что в (99,9) фотон поляризован в плоскости х, к (так что ej ||kj_), и заметив, что в силу поставленных условий
е5_ да е2 = 1, получим теперь
= (99,10)
г) При нормировке волновых функций на одну частицу в единичном объеме ток /^ = (1, v), где v—скорость. Но мы условились (§ 64) опускать в волновых функциях нормировочный множитель 1/}^"2е. Соответственно этому в надо ввести дополнительный множитель 2е, и мы приходим к выражению (99,5).
МЕТОД ЭКВИВАЛЕНТНЫХ ФОТОНОВ
485
Согласно сказанному выше при эгом предполагаются выполненными условия
(99.11)
(99.12)
где для краткости обозначено
8 I
Отсюда можно найти связь между соответствующими сечениями. Согласно общей формуле (64,18) имеем (в системе покоя частицы т)
= |*(2я)‘6» sjdp,.
da -1 М„ !¦ (2я)- 6- (Р;- />,) jij ^ dP<1,
где dpQ — статистические веса частиц Q. Используя (99,10) и (99,7), получим
do = dor- /г (k) d?p', (99,13)
где
п(к) =“ш (к^ + (02/72)2 • (99,14)
Напомним, что dor—сечение процесса а), вызванного столкновением реального фотона с покоящейся частицей, причем образуется система частиц Q в определенных интервалах их импуль-
сов. Сечение же do относится к процессу б) образования той же системы Q при столкновении быстрой частицы (масса М) с той же покоящейся частицей, причем быстрая частица теряет импульс р—р'=к, оставаясь в интервале d3p' значений р'. Множитель гг (к) в (99,13) можно истолковать как плотность (в к-простран-стве) числа фотонов, которым эквивалентно электромагнитное поле быстрой частицы.
Интегрирование по d3p' равнозначно интегрированию по d3k == = d(ad2k^. Произведя интегрирование по d2kx, мы получим сечение процесса, в котором полная энергия Е системы частиц Q лежит в заданном интервале dE = d<.о (Е—т = е — е'=со, где е и е' — начальная и конечная энергии частицы М). Интегрирование по направлениям кх означает усреднение по направлениям поляризации падающего фотона (вместе с умножением на 2я). После этого получим
do = я (со) dar da, (99,15)
486
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ
[Гл. X
где
Г 272е2 Г ks. dk .
П (Ш) = J (к) 2 1 dk± =
Интеграл по dk± расходится при больших kL. Расходимость, однако, всего лишь логарифмическая. Это обстоятельство позволяет (в пределах применимости излагаемого метода) получить ответ в логарифмическом приближении: предполагается, что велик не только аргумент логарифма, но и сам логарифм. С такой точностью достаточно положить для верхнего предела интегрирования k±maт—верхний предел неравенства (99,12). Произведя интегрирование, получим для спектрального распределения эквивалентных фотонов (в обычных единицах)
Предыдущая << 1 .. 164 165 166 167 168 169 < 170 > 171 172 173 174 175 176 .. 247 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed