Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.
Скачать (прямая ссылка):
А ?
I
Рг ------Г*----^-----Pt
Р/ *-----46------Р2
Это связано с тем, что вблизи границы конечные частицы имеют близкие импульсы и нет причин для малости обменных членов. Окончательный ответ для сечения:
da = 2аrlЩвр-ах-а)]7’ . (97,17)
Ш ^шах
При рассеянии электрона на позитроне логарифмически большой вклад в сечение излучения вносят квадраты аннигиляцион-
J) Разумеется, полученный в борновском приближении результат пригоден, как обычно, лишь до тех пор, пока относительная скорость конечных электронов велика по сравнению с а. В противном случае следует учитывать взаимодействие частиц в конечном состоянии. ¦ . -
s 98] ИЗЛУЧЕНИЕ МЯГКИХ ФОТОНОВ ПРИ СТОЛКНОВЕНИЯХ 475
ных диаграмм, в которых излучают начальные частицы:
А* ^
• 1
~Р+*Л" j<-------Р- -Pf---------j---^---Р- (97,18)
~Р+<-----^-------Р- ~Pi*--р-
С нелогарифмической точностью существенны также и квадраты других диаграмм. Интерференционные же члены малы. Окончательный ответ:
do — 2яг% ^ In — + 1) . (97,19)
т V т ' у ^тах
Таким образом, излучение при электрон-позитронном рассеянии логарифмически велико по сравнению с излучением при электрон-электронном рассеянии.
§ 98. Излучение мягких фотонов при столкновениях
Пусть do0 — сечение некоторого процесса рассеяния заряженных частиц, который может сопровождаться излучением определенного числа фотонов. Наряду с этим процессом рассмотрим также и другой процесс, отличающийся от первого лишь испусканием одного дополнительного фотона. Если частота со этого фотона достаточно мала (соответствующие условия будут сформулированы ниже), то сечение do второго процесса простым образом связано с do0.
Действительно, при малых со можно пренебречь обратным влиянием испускания этого кванта на процесс рассеяния. Другими словами, сечение do может быть представлено в виде произведения двух независимых множителей: сечения do0 и вероятности dw испускания одного фотона при столкновении. Испускание мягкого фотона—процесс квазиклассический; поэтому его вероятность совпадает с классически вычисленным числом испущенных при столкновении квантов, т. е. с классической интенсивностью (полной энергией) излучения dl, деленной на со(==^со). Таким образом,
do = do0it-. (98,1)
Покажем, как эта формула может быть получена по общим правилам диаграммной техники (J. М. Jauch, F. Rohrlich, 1954).
Диаграммы процесса с дополнительным фотоном получаются из диаграмм основного процесса путем добавления внешней фотонной линии, «ответвляющейся» от какой-либо (внешней или
476 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФбТОНАМИ [Гл. X
внутренней) электронной линии, т. е. путем замены
к
\ (98,2)
Р Р~к Р
Легко видеть, что основную роль будут играть диаграммы, получающиеся такой заменой во внешних электронных линиях. Действительно, если р — импульс внешней линии (р2 = /?г2), то при малых k будет также и (р—к)2тт2, т. е. добавляющийся в диаграмме множитель G (р—k) будет находиться вблизи своего полюса.
Для линии начального электрона р замена (98,2) сводится к замене в амплитуде реакции:
и (р) -—>¦ е V 4я G (р — k) (уе*) и (р) =
= еУГ 4jT »(р) 4я и (р)-
Заметив, что
(ур) (уе*) = 2ре* — (уе*) (ур), ури (р) = ти (р),
получим правило замены в виде
u(p)--—eVln^u(p). (98,3)
Аналогичным образом для линии конечного электрона р' замена на диаграмме
к *
\
\
на ^
р' р' р'+к
означает замену в амплитуде:
u{p')-+eV4яы(р')-^7|у). (98,4)
Во всех остальных частях диаграммы можно вообще пренебречь изменениями импульсов линий, связанными с испусканием фотона k. При этом подразумевается, что энергия фотона со во всяком случае мала по сравнению с энергиями всех частиц, участвующих в реакции (в том числе по сравнению с энергиями излучаемых жестких фотонов, если таковые имеются).
Пусть для определенности сечение doQ относится к рассеянию электрона на неподвижном ядре (с возможным излучением жестких фотонов). Амплитуда этого процесса, который мы условно
ИЗЛУЧЕНИЕ МЯГКИХ ФОТОН0В ПРИ С?©ЛКН©ВЁНИЯХ
477
назовем упругим, имеет вид
М^=~й(р')Ми(р).
Произведя в ней один раз замену (98,3), а другой раз (98,4) и сложив результаты, получим амплитуду тормозного излучения тех же жестких фотонов и мягкого фотона kг):
(?ВД
Соответственно, сечение
do = dovnn • 4яе2
упр
(р'е) (ре)
(p'k) (pk)
cPk
(2л)3 2м '
(98,6)
Просуммировав по поляризациям фотона k, получим
(98'7>
Выраженная через трехмерные величины, эта формула имеет вид2)
1 — v'n 1 — vn ) 4л‘2ш i'np’
где n = k/co, a v и v'—начальная и конечная скорости электрона. Мы видим, что выражение, стоящее перед doynv, действительно совпадает с (деленной на со) классической интенсивностью излучения (ср. II (69,4)), как и утверждалось в формуле (98,1).
Условие применимости полученных формул требует также, помимо малости со по сравнению с е, чтобы передача импульса ядру q была велика по сравнению с изменением 6q этой величины, связанной с испусканием мягкого фотона. Имеем
6q =(Р' — Р—к) — (р'— р)и=о =бр'—к,
причем
I * г I д I р' I со
а | к I = со. В нерелятивистском случае (у<^1) получаем поэтому условие
co/|q|w<^l. (98,9)
