Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.
Скачать (прямая ссылка):
Воспользуемся здесь фотонным пропагатором в обычной калибровке:
п 4л ~
— ~jp g'.UV — ^2 S'p.V
—5---k2
с2
В данном случае & = р++р_, и поскольку частицы «почти нерелятивистские», то
? ^ (е+ да 4mV >(р+ + P-У ^ к2. (83,19)
Поэтому для фотонного пропагатора достаточно написать
г> ~ п
да
Здесь уже содержится множитель 1/с2. Поэтому амплитуды и(р) достаточно брать в нулевом приближении:
ы(р_) = /2т(ш“), и(—р+)=У2т^о)
где w(l\ wm — фигурирующие в (23,12) трехмерные спиноры (ниже индексы (0) у них опустим). С этими амплитудами
й (— р+) у°и (р_) = и* (— р+) и (р_) = 0, и (— р+) уи (р_) = и* (— р+)аи (р_) =2m(w*ow_).
После подстановки этих выражений «аннигиляционный» член амплитуды рассеяния принимает вид
М}Га> = — (2m)2 (w*aw.) (w'law'). (83,20)
3$4
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ
[Гл. IX
Отсюда, однако, еще нельзя прямо сделать заключений о виде оператора взаимодействия. Во-первых, спиноры w, через которые выражаются амплитуды и(—р+), еще не являются в буквальном смысле позитронными. Позитронные амплитуды получаются из и (— р+) преобразованием зарядового сопряжения; согласно (26,6) соответствующие им спиноры (обозначим их через w+) связаны с w соотношением w+ = a w*, откуда
w* = avw+ = — w+Oy, w = — ayw\. (83,21)
Во-вторых, амплитуда рассеяния должна быть приведена к виду, в котором сворачиваются друг с другом электронные (w_ и w'_) и позитронные (w+ и w'j) спиноры. Эта цель достигается с помощью формулы
(w*aw_) (w'law') = -|- (w'*w_) (w*w')—(w'*aw_) (w*aw’), (83,22)
которая сама следует из (28,17).
Наконец, выразив w и w’ через w+ и w’+ согласно (83,21), найдем, как легко проверить,
(w*wr) = (w'*w+), (w*aw!) = — (w+aw+). (83,23)
Подставив (83,23) в (83,22) и затем в (83,20), получим окончательное выражение для аннигиляционной части амплитуды рассеяния
М(аНш = —4тг (V_X* |^1(3 + о + о-)] w_w+^
(матрицы о_ и о+ действуют соответственно на и w+). Выражение в квадратных скобках представляет собой оператор взаимодействия в импульсном представлении. Соответствующий, координатный оператор
*>HH,(r) = ^S(3 + o+G_)6(r), r = r_—г+ (83,24)
(Pirenne, 1947; В. Б. Берестецкий и Л. Д. Ландау, 1949). Полный оператор взаимодействия электрона и позитрона есть
— 0 + 0Шн)
с U из (83,17).
§ 84. Позитроний
Полученные в предыдущем параграфе формулы можно применить к позитронию—водородоподобной системе из электрона и позитрона.
В системе центра инерции операторы импульсов электрона и позитрона в позитронии: р_ ==—р+=р, гдер = ——оператор
5 84] ПОЗИТРОНИЯ 385
импульса относительного движения, соответствующий относительному радиусу-вектору г = г_ — г + . Полный гамильтониан позитрония J)
V, =- jj&-+ 4лй« (г) { р- + ^i} ,
i/2 = 6^1fs, (84,1)
Vo
6^ J! S2} + 4П1Х» (jP-2) 6 (r).
Здесь \La=eh/2mc—магнетон Бора, M = [rp]—оператор орбитального момента; S = (<j++ <j_)/2—оператор полного спина системы ^его квадрат S2 =-^ (3 + о+о_)^. В V± включены все поправочные
члены чисто орбитального характера; V2 — спин-орбитальное взаимодействие; V3 включает в себя спин-спиновое и «аннигиляционное» взаимодействия.
«Невозмущенный» гамильтониан
т г
отличается, естественно, от гамильтониана атома водорода лишь заменой массы электрона на приведенную массу т/2. Уровни энергии позитрония поэтому вдвое меньше (по абсолютной величине) уровней атома водорода:
(84,2)
Фп2
п — главное квантовое число).
Остальные члены в (84,1) приводят к расщеплению уровней
(84,2)—появлению тонкой структуры. Возникающие уровни классифицируются прежде всего по значениям полного момента /. Мы видим также, что операторы спинов частиц входят в гамильтониан (84,1) только в виде суммы S. Это значит, что гамильтониан коммутативен с оператором квадрата полного спина S2, т. е. величина полного спина продолжает сохраняться и в рассматриваемом (втором по 1/с) приближении. Поэтому уровни энергии позитрония можно классифицировать также и по полному спину, принимающему значения 5 = 0 и 5 = 1. Уровни со спином 0 называют уровнями парапозитрония, а уровни со спином 1 —уровнями ортопозитрония.
х) В обычных единицах.
386
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ
[Гл. IX
Следует подчеркнуть, что сохранение полного спина в позитронии является в действительности точным законом, не связанным с тем или иным приближением по 1/с; он следует из СР-ин-вариантности электромагнитных взаимодействий. Позитроний представляет собой истинно нейтральную систему, а потому его состояния характеризуются определенными зарядовой и комбинированной четностями. Последняя равна (— l)s + 1 (см. задачу к § 27); поскольку S может иметь лишь два значения, 0 и 1,то сохранение комбинированной четности эквивалентно сохранению полного спина.
При S — 0 полный момент / совпадает с орбитальным. При спине же S = 1 и заданном j число I пробегает значения /, / + 1, соответственно чему каждый уровень (п, /) ортопозитрония расщепляется, вообще говоря, натри уровня. Поскольку значениям
l = j и / =/'± 1 отвечают различные четности, то гамильтониан не имеет матричных элементов, связывающих эти состояния. Однако оператор возмущения (первый член в У3), вообще говоря, имеет недиагональные элементы, связывающие состояния с I = = / + 1 и / = /—1; при этом число I теряет, разумеется, строгий смысл орбитального момента.
