Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.
Скачать (прямая ссылка):
da = у г® (I + cos2 \>) do' (86,12)
(см. II (78,7)).
Для вычисления полного сечения вернемся к формуле (86,6). Входящие в нее инварианты s, t, и пробегают значения, удовлетворяющие неравенствам
s^m2, ^s^O, us^m*. (86,13)
Они были уже получены в § 67 (соответствующая им физическая область —I на рис. 7). Легко убедиться в них и непосредственно, написав выражения инвариантов в системе центра инерции. Здесь р + к=0, а энергии электрона е и фотона (о связаны посредством е = |/а>2 + т2. Инварианты:
5 = (е —J— о>)2 = т2 + 2со (о + е), и =т2 — 2со (е + и cos 0), (86,14)
t = —2и2 (1 — cos 0),
где 0 — угол рассеяния (угол между р и р' или между к и к'). Три неравенства (86,13) получаются из условий: со^О,
—-1 <С cos 0 1.
При заданном s (т. е. заданной энергии частиц) интегрирование по t можно заменить интегрированием по м = 2т2 — s — t в интервале
— ^ и ^ 2m2 — s.
S ¦
Введя вместо s, и величины
т‘
получим
(86,15)
а
X
I +т)] йУ
хЦх+ 1)
и после элементарного интегрирования
а = 2яг24{(1— + (86,16)
Первые члены разложения при х<^,1 (нерелятивистский случай) дают
а=*^( 1-х). (86,17)
400
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ
[Гл. X
Первый член есть классическое томсоновское сечение. В обратном, ультрарелятивистском случае х^>\, и разложение формулы (86,16) дает
a = 2nrl-^(\Tix + ^ . (86,18)
В лабораторной системе отсчета
х = 2со/пг, (86,19)
так что формулы (86,16—18) прямо дают зависимость сечения
рассеяния на неподвижном электроне от энергии фотона. На
рис. 13 дан график зависимости а от а/т.
___е
6)JlU
Рис. 13.
Отметим, что в ультрарелятивистском случае сечение падает с увеличением энергии как в лабораторной системе отсчета (а оз со-1 In со), так и в системе центра инерции (х ш 4со2/т2, о счэ со-2 In со). Угловое же распределение в ультрарелятивистском случае имеет в этих двух системах отсчета совершенно различный характер.
В лабораторной системе дифференциальное сечение имеет резкий максимум в направлении вперед. В узком конусе '3 (/"m/со имеем о>'~со и сечение da!do'~rj (достигая значения/-2
при $—>-0). Вне этого конуса сечение убывает, и в области
ПОЛЯРИЗАЦИОННЫЕ ЭФФЕКТЫ
401
02^>т/со (где со'«т/(1 — cos{})) имеем
do ге т
do' 2 ш (1 —cos О) ’
т. е. сечение уменьшается в ~со/т раз.
В системе же центра инерции дифференциальное сечение имеет максимум в направлении назад. При л —0^с1 имеем из
(86,14)
s—т2 4со2 т2— и , , со2 .
—5-«—г» --------3— « 1+—г(я — 9) •
т1 т2 ’ т2 т2 4 ’
Наибольший член в сечении (86,6)
т2 dt
da да 8пГе ¦
4 (s—тг) (т2 — и) ’ откуда
da=T 1+(л — В)2 со2/т2 ‘ (86’20)
Сечение da/do' ~ггс в узком конусе я — 0 ^m/со, а вне его уменьшается по порядку величины в а>2/пг2 раз.
§ 87. Рассеяние фотона электроном. Поляризационные эффекты
Вернемся к исходным формулам предыдущего параграфа и покажем, каким образом должны производиться вычисления с учетом поляризации начальных и конечных фотонов и электронов.
Матрица плотности фотона выражается, согласно (8,17), с помощью пары единичных 4-векторов еа>, е<2), удовлетворяющих условиям (8,16). В данном случае можно выбрать эти векторы единым образом для обоих фотонов. Это —введенные в § 70 4-векторых)
N Р
У —N2 ’ V — P2
где
^=(рЧЛ-^^,
(87,1)
Л^ = е^Р/У7Жр, (87,2)
^ = kK + k' , qx=k'%-kh^px~p,%.
х) Альтернативный способ вычисления состоит в том, чтобы с самого начала рассматривать определенную систему отсчета (скажем, лабораторную) и для каждого фотона выбрать в качестве е(1), е(2) два чисто пространственных (е=(0, е)) вектора, ортогональных по отношению к импульсу фотона и по отношению друг к другу. При этом, однако, все вычисления будут производиться в трехмерной форме, а результат не будет иметь инвариантного вида.
402
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ
[Гл. X
Выражения Q^v в (86,5) даются формулой (86,4). Их можно рассматривать как компоненты 4-тензора (в том смысле, что они образуют 4-тензор после образования величин u'Q^u, как говорят, «в обкладках»). Все компоненты 4-тензора можно исчерпать, проецируя его на четыре взаимно ортогональных 4-вектора, например на определенные выше Р, N, q, К- Поскольку тензоры РмлГ, р$ содержат только компоненты по Р и N, то фактически нам нужны будут компоненты Q^v тоже лишь по этим
4-векторам. Другими словами, достаточно искать в лишь члены вида
остальные члены при подстановке в (86,5) все равно выпали бы. Величины Q0 и Q3 являются скалярами —в том же смысле, как и Qnv есть 4-тензор; они содержат поэтому матрицы у лишь в «инвариантных» комбинациях: уК и т. п. В том же смысле Qt и Q2 — псевдоскаляры (N — псевдовектор!) и должны содержать матрицу у5.
Непосредственным проецированием тензора находим
и т. д. Для вычисления удобно сначала выразить Qp,v через взаимно ортогональные 4-векторы Р, N, q, К'-
Дальнейшее вычисление сводится к чисто алгебраическим преобразованиям с помощью приведенных в § 22 формул. Кроме того, можно сделать в Q^v замены, которые не отразятся на результате при дальнейшем образовании произведения u’Q^vu. Например, поскольку
и' (yp + yp') u = 2mu'u, и'уъ (yq) и —и' [у5 (yp) + (yp’) у5] и = 2ти'уъи,
