Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.
Скачать (прямая ссылка):
Решение. В (81,4) надо положить, согласно (29,22), J
Pi = y (yPi) (1 —Р2 = у (VPa) (1 — 2^*).
,¦ 1 , 1 Pi=y7Pi> Рг =-jyp2>
где Я], Я3=±1/2. Вычисление следов производится по приведенным в § 22 формулам; в частности,
Sp [у5 (уа) (yb) ] Sp |у (уС) у^ (y^ Vv] =
= i2(eP»\ьк) (eailxvc°dx) = 2 (б^б^ б^бд) apb^d^
= 2 (ас) (bd) — 2 (ad) (be).
В результате получим
da /s2+«2 s2+^2 2/s2—, s> — Г- . 2s2\
St w {-ir-+-^-+ur)+41^ J•
Поскольку импульсы сталкивающихся электронов (в системе центра инерции) взаимно противоположны, то одинаковым спиральностям (Xj = X2) отвечают антипараллельные спины, а различным спиральностям (%i = —Х2) — параллельные спины. Подставив s, t, и из (81,8) (причем р2 « е2), найдем для искомого отношения
^=±(l + 6cos20+cos*0). (1).
Это отношение минимально (Vg) при 0 = я/2.
5. То же для рассеяния позитронов на электронах.
Решение. В этом случае вместо (81,4) надо вычислять
\Mfi\ 2—;*16я2е4 j-^-Sp (р—v^P — VV) Sp (p+y>+Yv) —
—7^SP (P'-Y^P-YVP+'VMP + 'Vv)+ •••}
(остальные члены получаются из написанных перестановкой р+ и pi). Матрицы плотности:
Р- =у (ур-) (1— 2Я-75), р +=--(7/7 + ) (1 + 2Х + 75),
1 , 1 ,
P- = yY Р-> P+=yYP+>
РАССЕЯНИЕ НА ЭЛЕКТРОНЕ
369
где А,+, А,_ = ±1/2 (причем для позитрона, как и для электрона, A,+ =1/j означает спин, направленный по его импульсу). Вычисление дает
da (s2 -f- u2 . s2-)-^2 . 2 s2\ , , (s2—u2 . s2—t2 . 2s2
( —75--------------------------------------------------1-rs-b— ) —4A,+A,_' 1 1
dt V t2 ' u2 ' tu J + ~\ t2 ' u2 1 tu
Отсюда для отношения сечений получается результат, совпадающий с формулой (1) задачи 4.
6. Определить сечение рассеяния мюонов на электронах.
Решение. Процесс описывается всего одной диаграммой (73,17). Вместо (81,5) имеем
^ ne*dt с ч 4пeAdt с п , ч
(р*ри)*—mV* П,и)~ [s—(т-\- |.i)2] [s-(m-ti)2] П ' и)'
1 , , 0) f(i, и) =-jg7aSp[(Ypn+n) у** (7PH + J1) yv] Sp [(уре +т) у\(уре+т) yv]
(ре, рц и ре, pli—начальные и конечные 4-нмпульсы электрона и мюона; т, (X—их массы). Инварианты;
« = (Ре + Р и)2 = «2 + М-2 + 2/W >
t = (pe—p'e)2 = 2(rn2 — pePe) = 2(iL2 — pnp'il)i
и = (Pe—PiО2 = "J2 + F2 — 2рер'ц, s-|-^-|-w = 2 (m2-|-(x2).
Вычисление приводит к результату
/= { (РеР д)2 + (РеРд)2 + у ('П2 + l^2) 11 —
{S-T^+(m2 + ^2) (2/-m2-^2)} .
(2)
Формулы (1) и (2) решают поставленный вопрос. В системе центра инерции
. eido
da —---------------------fX
(ee + en)2p4sin4-
2
X J^(eeen + p2)2 + (eeen, + p2cose)2 — 2(m2 + ц2) р2 sin2-|-J ,
где do = 2nsin0 dQ\ ee, ец, — энергии электрона и мюона; р2 = ге—m2 = e^ — jj,2. При р2 <g (х2 мы возвращаемся к формуле (80,9) для рассеяния на неподвижном кулоновом центре. В ультрарелятивистском случае (р2 (х2)
J
l + cos4T *>=&——d0-sin4T
В лабораторной системе (в которой до столкновения покоится электрон):
370
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ
[Гл. IX
Здесь ец—энергия, а Уц, = рд/ец,—скорость налетающего мюона; тА = е'е-
— /п=ед—8р,—энергия электрона отдачи, а
л___________2Й______
тах т2 + ц2 + 2/пед
есть максимальное значение Д.
7. Определить отношение сечений взаимного рассеяния спиральных электронов и мюонов с параллельными и антипараллельными спинами в ультрарелятивистском случае (ец^>[г, ге^>т).
Решение.1) Аналогично задаче 4 находим
dan 4 0
—Ji =COS4-^ dan 2
(0—угол рассеяния в системе центра инерции).
8. Определить сечение превращения электронной пары в мюонную (В. Б. Берестецкий, И. Я¦ Померанчук, 1955).
Решение. Это другой кросс-канал реакции, к которой относится (ге-рассеяние. В этом канале
S=(Pe — Рд)2. i = (Pe+Pe)2> и = (Ре~ Ы2.
где ре, ре—4-импульсы электрона и позитрона, а рц, рц, — мюона и антимюона. Порог реакции отвечает энергии электронной пары, равной (в системе центра инерции) 2(х, так что должно быть t > 4ц2. В лабораторной системе, в которой до столкновения покоится электрон, а позитрон имеет энергиюе+,
t = 2m (г+-\-т) « 2тг+,
так что должно быть е+ > еп, где пороговая энергия еп = 2\i2[m (здесь и ниже произведены все пренебрежения, допускаемые неравенством \1^>т). Дифференциальное сечение (вместо (1), (2) задачи 6)
-2 \i2t— ц4
, 4ne4ds ... . . ,ds
При заданном t величина s пробегает значения между границами, определяемыми уравнениями su яа (г4, s-)-/-)-« « 2(г2, т. е.
УТ(73Г4^<$<^-^+1 уt (t—4(х2).
Элементарное интегрирование приводит к результату:
4л 2ffi3 4и2 /, 2и2\ е3
“тЧУ1 |('+т)' о
(в лабораторной системе t = 2me + ). Эта формула неприменима в непосредственной близости к порогу: когда е+—8П ~ (ге4, образующиеся мюоны нельзя считать свободными частицами (с учетом же кулонового взаимодействия между ними сечение будет стремиться при е+—>еп не к нулю, а к константе— см. III, § 147).
Сечение (1) максимально при е+ = 1,7еп. Его значение в максимуме примерно в 20 раз меньше сечения двухфотонной аннигиляции при той же энергии.
J) Другой способ решения этой задачи дан в конце § 144.
ИОНИЗАЦИОННЫЕ ПОТЕРИ БЫСТРЫХ ЧАСТИЦ
371
§ 82. Ионизационные потери быстрых частиц
Рассмотрим столкновения быстрой релятивистской частицы с атомом, сопровождающиеся возбуждением или ионизацией последнего. В нерелятивистском случае такие неупругие столкновения были рассмотрены в III, §§ 148—150; здесь будет дано релятивистское обобщение полученных там формул (Н. A. Bethe, 1933).
