Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.
Скачать (прямая ссылка):
Специфическими свойствами обладает эффект Зеемана в позитронии (В. Б. Берестецкий, И. Я¦ Померанчук, 1949).
Орбитальный магнитный момент позитрония равен всегда нулю: поскольку в позитронии [г+р+]=[г_р_], то оператор
Д/ == М-0 ([г+Р + ] — [г_Р_]) = 0.
Оператор же спинового магнитного момента
М* = К (<*+—<*-) (84>3)
не пропорционален оператору полного спина S = 72 (<т+ + сг_), а операторы S2 и ц2 не коммутативны. Поэтому состояния с определенными значениями величины полного спина S и его проекции Sz не являются, вообще говоря, собственными состояниями для магнитного момента.
. Состояния с заданными S и Sz описываются спиновыми функциями %ssг, имеющими вид
Хп = «+«-, Xi-i = P+P-.
Xi° = y^-(<*+P-+a-P+). (84,4)
Xoo==yi (а+Р-—а-Р+)-
где а и Р — спиновые функции одной частицы, соответствующие проекциям спина +1,/2 и —х/2 (индексы + или—указывают, что функция относится к позитрону или электрону). Из них первые
ПОЗИТРОНИЙ
387
две (Xif и Xi-i) являются одновременно и собственными функциями оператора (я^, отвечающими собственному значению = 0. функции же %)0 и Хоо не являются собственными функциями \iz', таковыми являются комбинации
у=-(7ю + Ъо) = а+Р-. ^=-(Хю —Хоо) = «-Р+- (84,5)
Легко видеть, что единственными отличными от нуля элементами матрицы <.S'S'Z | | SS2), вычисленными по функциям (84,4), яв-
Уляются элементы
<00 | | Ю> = <10| цг | 00> = 2[i0. (84,6)
В слабых магнитных полях (когда где Д — разность
между энергиями уровней cS = 0hS = 1) исходным приближением для вычисления зеемановского расщепления являются состояния с определенными значениями полного спина. В первом приближении это расщепление дается средним значением оператора энергии возмущения
Уя = —¦ \izH.
Но все диагональные матричные элементы оператора \iz (а тем самым и Уя), вычисленные по функциям (84,4), равны нулю. Таким образом, в слабых полях линейный эффект Зеемана в позитронии отсутствует.
В противоположном предельном случае сильных полей ([х0Я^>Д) можно пренебречь взаимодействием спинов, приводящим к установлению определенных значений S. Компоненты расщепленного уровня будут в этом случае соответствовать состояниям с определенными значениями = ± 2(я0 (описываемым функциями (84,5)), а величина их сдвига будет составлять ± 2\i0H.
Задач и
1. Определить тонкую структуру уровней парапозитрония (В. Б. Бере-стецкий, 1949)J).
Решение. Искомая энергия расщепления уровня дается средними значениями поправочных членов в гамильтониане (84,1), вычисленными по волновым функциям невозмущенных состояний с различными значениями j = l (равными 0,1....п—1). При S = 0 отличный от нуля вклад возникает только от Vi
и второго члена в У3.
Невозмущенные волновые функции (обозначим их через 1|)) удовлетворяют уравнению Шредингера 2)
= ? = _JL.
!) Вычисление тонкой структуры ортопозитрония см. Соколов А. А., Цы• тович В. Н. — ЖЭТФ, 1953, т, 24, с. 253.
2) При вычислении удобно пользоваться атомными единицами.
388
ВЗАИМОДЁЙСТВИЕ электронов
[Гл. IX
Поэтому
Г \ Г
= (?+у) ^' + 4л6(г)11,+-^17
Среднее значение:
р* = ( Е + ±J3 + 4д | * (0) |2 + j j dr do.
dr
о
Последний интеграл равен —^ | г|5 (0) |2 do; поскольку (0) 7= 0 только при
/--О, а волновые функции 5-состояний сферически-симметричны, то интеграл равен — 4л | ^ (0) [2 и сокращается со вторым членом.
Введя оператор орбитального момента 1 = [гр], пишем:
Отсюда для другого нужного нам среднего значения
[ У* -75- (ГР) И d'3x = — J i* у
^ld3x-дг* Х~
(при 1 — 0 последний член отсутствует).
Согласно известным формулам теории атома водорода (см. III (36,14), (36,16)) — с учетом замены массы электрона т на т/2 — имеем
1^(°)12== 1Е^"б/0’ Г~1==~2п*’Г 2 = 2/г3 (2/+1) ’
—г 1
4пЧ (I -f- 1) (2/-|- 1) (/ Ф 0)'
С помощью написанных формул получим для искомых уровней энергии парапозитрония
g ________1___^ те1 1 / 1_____П_\
nl~ 4п"~а Р 2п»\2/ + 1 32п) '
2. Определить разность энергий основных состояний (п=1, 1 = 0) орто-и парапозитрония.
Решение. Зависимость энергии от полного спина S при 1 — 0 содержится лишь в среднем значении второго члена в К3 (первый же член обращается в нуль при усреднении по углам в сферически-симметричном S-co-стоянии*)). Основной уровень ортопозитрония (’SJ лежит выше основного уровня парапозитрония (XS0) на величину
Е PSi)— ?(iS0) = — а2^ = 8,2-10-4 эВ.
12 &2
*) Усреднение по углам должно производиться до интегрирования по г, как это очевидно из способа вычисления интеграла (83,14), приводящего к первому члену в I 3.
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ НА ДАЛЕКИХ РАССТОЯНИЯХ
389
§ 85. Взаимодействие атомов на далеких расстояниях
Между двумя нейтральными атомами, находящимися на больших (по сравнению с их собственными размерами) расстояниях г, действуют силы притяжения. Обычное квантовомеханическое вычисление этих сил (см. III, § 89) становится, однако, неприменимым на слишком больших расстояниях. Дело в том, что в этом вычислении рассматривается лишь электростатическое взаимодействие, т. е. не учитываются эффекты запаздывания. Такое рассмотрение справедливо лишь до тех пор, пока расстояние г остается малым по сравнению с характерными длинами волн А,0 в спектрах взаимодействующих атомов. В этом параграфе будет произведено вычисление, свободное от этого ограничения.
