Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.
Скачать (прямая ссылка):
(85,19)
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ НА ДАЛЕКИХ РАССТОЯНИЯХ
395
погашается быстро осциллирующим множителем exp (2tcor). Поэтому можно заменить поляризуемости а, (со) и а2 (со) их статическими значениями ах(0) и а2(0). После этого интегрирование производится элементарно (причем для обеспечения сходимости следует заменить в экспоненте г—>-r + t0). В результате окончательно находим (в обычных единицах):
U(r) = — |j>ai(0)«,(p) (85,20)
(H.B.G. Casimir, D. Polder, 1948)г).
1) В изложенном выводе мы следовали И. Е. Дзялошинскому.
ГЛАВА X
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ
§ 86. Рассеяние фотона электроном
Сохранение 4-импульса при рассеянии фотона свободным электроном (эффект Комптона) выражается равенством
p + k=p'+k', (86,1)
где р и k — 4-импульсы электрона и фотона до столкновения,
а р' и k! — их 4-импульсы после столкновения. Введенные в § 66
кинематические инварианты:
s = (у0 + &)2 = {р1 +k')- =m‘lJr2pk = m2 + 2p'k', t = (p — p’)- -= {k' — k)2 = 2 (m2 — pp') = — 2kk', (86,2)
и = (p — k')- = (p' — k)~ = m2 — 2pk' = m2 — 2p'k,
s-\-t-\-u = 2m2.
Рассматриваемый процесс изображается двумя диаграммами Фейнмана (74,14), и его амплитуда
Mfi = — 4ne2e^*ev (u'Q^u), (86,3)
где
Q*v =T^v*(yp + vk + m)vv + -^~*yv(vp-vk' + m)vil- (86>4) .
Здесь е, е'— 4-векторы поляризации начального и конечного фотонов; и, и'—биспинорные амплитуды начального и конечного электронов.
Согласно изложенным в § 65 правилам, для произвольных поляризационных состояний частиц квадрат |Л1/;|2 заменяется на
| Mft |* 16л V Sp {р<е>'р$' Q^v р“>р&> (86,5)
Здесь р<<?), р(еу — матрицы плотности начального и конечного электронов, р(">’), p(v>' — то же для фотонов; фотонные (тензорные) индексы выписаны явно, а электронные (биспинорные) подразумеваются; знак Sp относится именно к последним индексам. К этим же индексам относится знак + в определении Qnv = Y°QjtvY°-Рассмотрим рассеяние неполяризованного фотона на неполя-ризованпом электроне, не интересуясь при этом их поляризациями после рассеяния. Усреднение по поляризациям всех частиц
РАССЕЯНИЕ ФОТОНА ЭЛЕКТРОНОМ
397
достигается с помощью матриц плотности:
pivn) = pffi' = — P(e) = y(Y/> + «0. p(f)' =-j(yp' +m);
переход к суммированию по поляризациям конечных частиц осуществляется умножением еще па 2-2=4.
По формуле (64,23) которой надо положить теперь /- =•* =-^-(s —яг2)2 —см. (64,15а) ^ получим для сечения
d<J = х (S -ly SP + tn) (ур + m) QMl).
С помощью формул (65,2a) находим, что Qn\ = Q\,и- Отделяя члены, переходящие друг в друга при замене k*-* — k' (и соответственно s*-*u), представим сечение в виде
da =dt~^~[f(s, u) + g(s, u) + f(u, s) + g(u, s)], где обозначено
f (S> U) =4(s_m2)!X
xSp {(yp' + m)y^(yp + yk + m) yv (y p + m) yv(yp + yk + m) Yu}.
g(s’ u) 4 (s—m2) (u—m2)X
x Sp {{yp' + m) (yp + yk + m) yv (yp + m) (yp — yk' + m) yv}
(в этих обозначениях мы заранее имеем в виду, что результат будет зависеть лить от инвариантных величин).
Суммирование по ц и v выполняется с помощью формул (22,6); отбросив затем члены с нечетным числом множителей у, получим
f(s' “) = (S—/л3)2*
X Sp {(ур’) (ур + yk) (ур) (ур + yk) + 4т2 (ур + yk) (yk — ур') +
+ т2 (ур)(ур') + 4т4}.
Вычислив след с помощью формул (22,13) и выразив все величины через инварианты s, и, найдем после простых преобразований
f(s’ u) = (Т-пГ*)2 — (s—m2) (и — т2) + 2т2 (s — т2)}.
Аналогичным образом вычисляется g:
S(s’ и) = ^-J^u-mi) + (s ~ + (u
398 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ [Гл. X
В результате для сечения получим , 0 2 m2dt I ( т2 . т2 \2 .
+ ^ + ^2)_1(^1 + ?=4)1 (86)6)
1 \s—т2 1 и—т2у 4 \ и—т2 1 s — т2 j f v '
где ге=е2/т. Эта формула выражает сечение через инвариантные величины. С ее помощью легко выразить сечение через параметры столкновения в любой конкретной системе отсчета.
Сделаем это для лабораторной системы отсчета, в которой электрон до столкновения покоился: р = (т, 0). Здесь
s—m2 = 2mco, и — т2 = — 2тсо'. (86,7)
Написав уравнение сохранения 4-импульса в виде p-\-k — k'~p' и возведя его в квадрат, получим
pk — pk' — kk' =0,
откуда (в лабораторной системе)
т (со —со') —coco' (1 — cosft) = 0,
где •& — угол рассеяния фотона. Этим равенством определяется
связь между изменением энергии фотона и углом рассеяния:
Л------ = —(1—cosd). (86,8)
со со т ' ' v > /
Инвариант t:
t = — 2kk' = — 2сосо' (1 — cos •&).
При заданной энергии со находим (с помощью (86,8))
dt = 2co'2d cos •& = ~ со'Ыо' (do' = 2л sin й dd).
Подстановка написанных выражений в (86,6) приводит к следующей формуле для сечения рассеяния в лабораторной системе отсчета:
rfa=JH^)2 (^+i^-sin2{0do' (86-9)
(О. Klein, Y. Nishina, 1929; И. Е. Тамм, 1930).
Поскольку угол •& однозначно связан с со' соотношением (86,8), сечение может быть выражено через энергию рассеянного фотона со':
, 2mda>' Г ш , сo' ,[ m m \2 о/'' 1 \1 /ос in\
do=nrt-^[w + — -2m[^r-—)\, (86,10)
причем со' меняется в пределах
J 8б] РАССЕЯНИЕ ФОТОНА электроном 399
При и<|ш в (86,9) можно положить со' « со, и получается, как и следовало, классическая нерелятивистская формула Томсона
