Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.
Скачать (прямая ссылка):
Mfi — — 2т± • 2т2 (w?w?U (р1( р2, q) ш\т2), (83,8)
где
II In. г. (J_____!_______1 I (qpi) (qpa) Р1Р2 ,
(Ри Рг. q) 1 q2 8от2сз Smtc2 т1т^ m^q2 ^
, i<Ji [qpi] ioi [qp2] ia2 [qp2] , ta2 [qpi] ,
- - T->-r
4m}c2q2 2mxm2c2q3 4m|c2q2 2m2m2c2q2
, (PiqHPaq)______
' 4m!/n2c2q2 4mitn2c2
(gig) (gag)_______I
(индексы 1, 2 у матриц Паули указывают, на чьи спинорные индексы они действуют: в± действует на wit а а2 на w2).
Функция U (pf, р2, q) есть оператор взаимодействия частиц в импульсном представления. Он связан с оператором U (рх, р2, г) в координатном представлении формулой
^ е —1 <pirl + р2г=г) JJ gl (р,Г, + р2Гг) (PXi
= (2я)3 8 (Pl+P.2—р;_р') и (р?, р2, q). (83,10)
Если оператор 0 представляет собой просто функцию U (г) (г = = г1 —г2), то U (pi, р2, q) не зависит от pf, р2 и формула (83,10) сводится к обычному определению компоненты Фурье:
^e~‘4rU (г)d?x~U (q).
Отсюда ясно, что для нахождения 0 (р(, р2, г) надо вычислить интеграл
cpq
§e{*rU(pj, р2, q)
(2л)а
и затем заменить Pi, р2 операторами Pl =— iVj,p2 = —i'V2> расположив их правее всех других множителей.
Нужные интегралы вычисляются дифференцированием формулы
lqr _1_ (83 11)
q2 (2я)3 г '
Так, взятием градиента находим
f
giqrl^S d?q _ ._ 1 гг
л2
f 83] УРАВНЕНИЕ БРЕЙТА 381
Далее (а, Ь —постоянные векторы)
Г* 4л (aq) (Ьд) ,-пг <Pq _ i ( д \ Г с!аг ( b д \ 1 &Я .
) д* (2л)3 2 [адг)У [ D3qJ д* (2л)»’
получившийся интеграл после интегрирования по частям сводится к (83,12) и дает
(83il3)
Наконец,
^11М(ьа)е,,,^=_(а7)(Ьг)1.
При раскрытии производных надо иметь в виду, что это выражение содержит в себе б-функцию б (г). Для ее выделения замечаем, что после усреднения по направлениям г:
- (av) (bV) т- = - - j (ab) A j- = ~ (ab) 6 (r).
Раскрывая теперь производные обычным образом, получим
J4»^e,v^=^|ab_3^|+taab6(r)(83il4)
(при усреднении по направлениям г первый член обращается в нуль и остается лишь член с б-функцией).
С помощью этих формул получим следующее окончательное выражение для оператора взаимодействия частиц:
О (Pi, -р.. г)=^_г^(Л+Л) 8(0—
\fJli т2 )
2 т1т2с2г
, . , [гр, ]», + 7^—: [гр.] Я,
е
4т\С2г3 4/П2С2г3
2 +
6(г)}. (83,15)
Полный гамильтониан системы двух частиц в этом приближении
H = HT + HV + U, (83,16)
где Нт—гамильтонианы свободных частиц из (83,6).
Два электрона
Если обе частицы тождественны (два электрона), то в амплитуде рассеяния появляется второй член, изображающийся
382
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ
[Гл. IX
«обменной» диаграммой
Рг-
Вычислять его вклад в оператор взаимодействия, однако, нет необходимости. Дело в том, что описание системы тождественных частиц уравнением Шредингера может осуществляться с помощью такого же оператора взаимодействия, как для нетождественных частиц, если условиться о должной симметризации решений уравнения. В частности, при рассмотрении рассеяния частиц такая симметризация автоматически учтет вклады в амплитуду, соответствующие обеим фейнмановским диаграммам.
Таким образом, гамильтониан системы двух электронов получится из формул (83,15—16), если просто положить в них т1=т21):
й = 2^ (Р? + Pi) - 8^г (Pi + pi) + й (Pi. р2. г), и &, р-„ г) - ?-» (?)¦* (г)(SA+й$?) +
+13375 (— (®< + '2aJ kPi] + («. +2а,) [rpj +
+ <83'17> Заметим, что присутствие членов с б (г) не означает, конечно, наличия особо сильного взаимодействия. Интегральная величина всех поправочных членов одинакова, и по смыслу произведенного разложения все они должны рассматриваться как малые по сравнению с первым членом — кулоновым взаимодействием.
Различные группы членов в операторе взаимодействия (83,17) имеют различный характер. Члены первой строки в 0 имеют чисто орбитальное происхождение. Во второй строке стоят члены, линейные по операторам спина частиц; они отвечают спин-орби-тальному взаимодействию. Наконец, квадратичные по спиновым операторам члены третьей строки описывают спин-спиновое взаимодействие 2).
1)Волновое уравнение с гамильтонианом (83,17) было впервые установлено Брейтом (G. Breit, 1929), а его последовательный квантовомеханический вывод был дан J1. Д. Ландау (1932).
2) Это взаимодействие упоминалось в III, § 72 в связи с тонкой структурой атомных уровней, а спин-спиновое взаимодействие электронов с ядром рассматривалось в III, § 121 в связи со сверхтонкой структурой уровней. В частности, формула III (121,9) соответствует 6-функционному члену в операторе спин-спинового взаимодействия.
j 83] УРАВНЕНИЕ БРЕЙТА 383
Электрон и позитрон
Система из электрона и позитрона требует особого рассмотрения. Амплитуда рассеяния в этом случае складывается из двух членов:
Mfi =— е2[« (Р-) (/>-)]Diiv (Р- —Р-) [« (— Р+) Yv« (— Р'+)] +
+ е- [й (— р+) Vми (р_)] (р_ + р+) [й (pi) yvu (— />'+)] (83,18)
(первый отвечает рассеивательной, а второй — аннигиляционной .диаграмме). Поскольку волновая функция системы «электрон + позитрон» не должна быть антисимметричной, оба члена дают независимые вклады в оператор взаимодействия.
Первый член (структура которого совпадает со структурой амплитуды (83,1)) приводит, естественно, к оператору, отличающемуся от (83,17) лишь общим знаком. Займемся преобразованием второго члена.
