Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.
Скачать (прямая ссылка):
Скорость падающей на атом частицы предполагается большой по сравнению со скоростями атомных электронов (тем самым во всяком случае предполагается, что Zcc<^l, т. е. атомный номер не слишком велик). Этим условием обеспечивается применимость борновского приближения к рассматриваемому процессу. Решение задачи несколько различно в зависимости от того, является ли быстрая частица легкой (электрон, позитрон) или тяжелой (мезон, протон, a-частица и т. п.). Мы рассмотрим здесь последний случай, более простой.
Пусть р = (е, р) и р'=(&', р') — начальный и конечный импульсы быстрой частицы в лабораторной системе отсчета, в которой атом до столкновения покоился; разность q = p'—p дает энергию и импульс, передаваемые частицей атому. Разделим весь интервал возможных передач импульса на две области:
где т—масса электрона, а / — некоторая средняя атомная энергия (потенциал ионизации атома). Обе области перекрываются друг с другом при /<^q2/m<^m; это обстоятельство позволит произвести точную сшивку результатов, получающихся для каждой из областей. Будем говорить о значениях q в первой и во второй областях соответственно как о малых и больших передачах импульса.
Малые передачи импульса
В этой области атомные электроны можно считать нерелятивистскими как в начальном, так и в конечном состояниях атома.
Амплитуда процесса дается выражением
где /п0 —4-ток перехода атома из начального состояния (0) в конечное (п), а Jp,p — 4-ток перехода быстрой частицы; эти токи заменяют здесь собой выражения (и'уи), которые стояли бы, например, в амплитуде рассеяния двух «элементарных» частиц — электрона и мюона (73,17) (ср. также (139,3)). Токи перехода берутся в импульсном представлении (см. (43,11)). Сечение
1)?<т, II )?>/.
(82,1)
(82,2)
372
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ
[Гл. IX
процесса в лабораторной системе отсчета:
dan = 2я8 (В-В' - со„0) | М\Т I2 2Тр|^:(2я)з", (82,3)
где со^0 =?„ — ?0 — 4301013 переходз между состояниями зтома. Конечное состояние может относиться кзк к дискретному, тзк и к непрерывному спектру; первый случзй отвечзет возбуждению, з второй — иониззции зтомз. В ззконе сохрзнения энергии (учи-тывземом S-функцией в (82,3)) пренебрежено энергией отдзчи зтомз, что ззведомо допустимо при мзлых передзчзх импульсз.
Фотонный пропзгзтор удобно выбрзть в дзнном случае в ) калибровке (76,14), в которой отличны от нуля лишь его про-у странственные компоненты:
(«»-“?)• (82,4)
Тогда и для 4-токов переходз в (82,2) нужны только их про-стрзнственные компоненты.
Атомный ток переходз J„0(q) в данном случзе есть компо-нентз Фурье обычного нерелятивистского вырзжения:
J„o (Ч) = ^ J e-i4r(toV^ d*x, (82,5)
где aj50, — зтомные волновые функции (причем для упрощения
ззписи мы опускзем здесь и ниже знзк суммировзния по элек-тронзм зтомз, т. е. пишем формулу тзк, кзк если бы в зтоме был всего один электрон). Проинтегрировзв в первом члене по чзстям, можно переписзть это вырзжение в виде мзтричного элементз:
J„o (q) = у (ve-‘4r + e-<Qrv)„0, '(82,6)
где v = — -~У — оперзтор скорости электронз.
Что кзсается токз переходз рзссеивземой частицы, то ввиду относительной мзлости теряемого ею импульсз (| q | | р |) можно
ззменить его просто дизгонзльным элементом
Зрр (0) = 2рг, (82,7)
отвечзющим клзссическому прямолинейному движению (ср. ниже
(99,5)); здесь введен тзкже множитель г, учитывзющий возможное отличие ззрядз частицы (ze) от заряда электрона.
Малость q означзет тзкже и мзлость углз отклонения чзстицы •&. При этом продольнзя и поперечнзя (по отношению к р) компоненты q рзвны
— Ч\\» = ^f> <7х«|р|Ф, (82,8)
так что qp да—есоп0.
ИОНИЗАЦИОННЫЕ ПОТЕРИ БЫСТРЫХ ЧАСТИЦ
373
Подстановка (82,4—8) в (82,2) дает
М\Т = — ^“(4ve_iqr + e_I'qrqv)-f (pve-I'qr+ e~'qrpv) 0^,
В первом члене замечаем, что
qv/ + /qv = 2jf,
где / = e-‘qr (см. III, § 149); поэтому матричный элемент этого оператора совпадает с матричным элементом 2i (/)n0 = 2соn0fn0. Во втором же члене достаточно заменить, ввиду малости q, e~iqr единицей. Тогда
ЩТ = — “ {е (e-!'qr)„o - 1'ргвйй)„о}.
Квадрат модуля этого выражения:
IЩТ I2 = I6' I (е“гчг)„о I2 + 2 (qrB0) (рг„0) есо„0 + (ргв0)*(й*0}
(82,9)
(во втором члене здесь положено e~!qr« 1—iqr; в первом члене этого нельзя сделать по причине, которая выяснится ниже, — см. примечание на стр. 375).
Потери энергии быстрой частицы в результате ее неупругих столкновений с атомами1) определяются величиной
х = ? f “гiadon = f “г;о I ЩТ I2do', (82,10)
n "n
где суммирование производится по всем возможным конечным состояниям атома, а интегрирование —по направлениям рассеянной частицы; будем называть эту величину эффективным торможением (отношение х/е называют сечением потери энергии).
Интегрирование в (82,10) можно произвести в два этапа: как усреднение по азимуту направления р' относительно р и затем интегрирование по do’ &2nbd$, где -&—малый угол рассеяния. Первая операция заменяет qr„0 на
ЯГпо-*?11*»о=— ~хп^
где хп0—матричный элемент одной из декартовых координат атомных электронов?). Интегрирование же по d$ можно заме-
