Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.
Скачать (прямая ссылка):
1 2 1 2 1
°-------------------43 а р <?
2
(85,6)
операторов dx или d2 войдет в первой степени и обратится в нуль
<s(r)> =у ^dtj . . . J• <Т (?г-(Г1> tJEtir,, /2))>х X <Т (Et (г2, /,) Ет (г1; /4))> <Т (du (tt) dlm (/4))> <Т (dik (it) d2l (ia))y.
(85,7)
где t, k, ...—трехмерные векторные индексы.
Для вычисления величин
Dfk {хх—х2) = <Т (?,. (xt) Ек (х2))У
(85,8)
р г)2
Dik {х1 - х2) = -щщ- <Т (At (*,) Ak(x2))y = i Dik (х),
J) Они дают не интересующие нас здесь поправки к собственным энергиям каждого из атомов.
392 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ [Гл. IX
где Х — Ху — хг, a Dik(x)~фотонный пропагатор в данной калибровке1).
Ниже нам будет удобнее пользоваться пропагатором Dik (со, г) в смешанном со, r-представлешш, который связан с Dik (t, г) согласно
Dik(t, г) = j Dik (со, г) .
При этом
Dfk (t, г) = -»- t J соЮ1к (со, г) е-™ ~ . (85,9)
Величины
. <*/* (*i — tt) = i <Т (d; (t,) dk (tt))> (85,10)
разлагаем в интеграл Фурье
оо
««(0 = j е-ша,к(а)^-.
— оо
Положив для удобства i2—0, ti = t, пишем по определению Т-произведения
оо
И = S aik (0 dt =.
О эо
= t J e'®,<d*(0)dI-(0>*4-tSeto,<d,(0^(0)>^. (85,11)
— оо О
Входящие сюда средние (по основному состоянию атома) значения выражаются через матричные элементы дипольного момента:.
<dk (0) dt (t)> = 2 (d*)o„ (Ф)«о
П
<di(t)dk(Q)y = ^(di),n(dk)n,e-^.
П
Для сходимости интегралов в (85,11) в первом из них надо понимать со как со — Ю, а во втором —как « + 0. Произведя интегрирование, получим
«ц И = У 1 -di)m -*¦”•»¦+¦-w (^Ч-1 • (85,12)
^ (Ш„0 —0J —(0 co„o+w — ‘Of х '
П
1) Первая производная —¦ Dik(t) имеет конечный скачок при < = 0. По-
этому вторая производная, т. е. функция (^) содержит также ё-функцион-
ный член (~ 6<4> (д'2—дгх)). Этот член, однако, равен нулю при всех г2 ?= га
и нас здесь не интересует.
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ НА ДАЛЕКИХ РАССТОЯНИЯХ
393
Если основное состояние является 5-состоянием, то этот тензор сводится к скаляру: aik = a&ik, где
«(со) 'у |d0n|2f-----------?----=4-------р----гг). (85,13)
4 ' 3 Zj1 ип 1 \ соп0 —со —(О со„о + со — гО J 4 '
п
Если же атом обладает моментом, то тот же результат получится после усреднения по его направлениям, что и будет подразумеваться (нас интересует, конечно, взаимодействие атомов, усредненное по их взаимным ориентациям).
Сравнив (85,12) с выражением (59,17), мы видим, что aik((?>) совпадает с тензором когерентного рассеяния фотона с частотой со на атоме. Согласно (59,23) а (со) при со > 0 совпадает с поляризуемостью атома. Значения же а (со) при со < 0 выражаются через значения при со > 0 с помощью очевидного из (85,13) соотношения а (— со) = а (со).
Подставив полученные выражения в (85,7), найдем <«(,)>
X aL (Йх) а2 (fi2) с)?!),•* (со,, г) со2 (со2, г) X
х ехр {— /СО, (t, — /2) — /со2 (/3 — /4) — /Й! & — /4) — Ш2 (/2 — 4)}
(г = г1 — г2; мы учли также четность функции D,-ft(co, г) по г). Интегрирование по трем временам дает 6-функции (в силу которых
— = Q2 = со2 = coj), а по четвертому — множитель t:
<5 (r)>= — itU (г),
где
00
U = i I “‘ai Иа* И г^2 "ё" • (85,14)
— со
Эта формула и определяет энергию взаимодействия двух атомов на любых расстояниях, больших по сравнению с атомными размерами а. Остается найти и подставить сюда явное выражение
функции Dik(со, г).
Сравнив друг с другом выражения (76,14) и (76,10) для функций Dik импульсного представления в двух различных калибровках, найдем, что
Dik(со, k) = (^8lk DF (со, к),
где индекс F означает фейнмановскую калибровку. В со, г-представлении эта связь выразится, следовательно, равенством
0„(Ш, + Г). (85,15)
¦3S4
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ
[Гл. IX
Подставив сюда DF (со, г) из (76,16) и произведя дифференцирования, найдем
Наконец, подставив это выражение в (85,14), после простых преобразований с учетом четности функции а (со), получим следующее окончательное выражение энергии взаимодействия атомов:
Это общее выражение можно упростить в предельных случаях «малых» (a <iS. г <<с %0) и «больших» (г^>Х0) расстояний.
При в интеграле существенны (см. ниже) значения
со~со0, где со0 ~ с/Х0— атомные частоты; поэтому cor^l. В этом случае можно оставить в скобке только последний член и заменить экспоненту на единицу. Написав интеграл в пределах от
— оо до оо (с целью дальнейшего преобразования), находим
Как и должно быть, мы получили для взаимодействия на этих расстояниях закон 1 /г6. Интеграл в этой формуле легко вычисляется, после подстановки в него а (со) из (85,13), путем замыкания контура интегрирования бесконечно удаленной полуокружностью в верхней полуплоскости комплексной переменной со; при этом интеграл определяется вычетами подынтегрального выражения в полюсах со = со„0 ~ со0. Предполагая, для упрощения записи результата, оба атома одинаковыми, получим (в обычных единицах)
что совпадает с известной формулой Лондона (см. III, § 89, задача).
В предельном же случае больших расстояний, г^>Х0, в интеграле существенны значения со ^ с/r <^со0; при со^со0 интеграл
') = [6.»(1+W[7-w) +
(85,16)
U(r) =
О
(85,18)
п, п‘
