Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.
Скачать (прямая ссылка):
Соотношения симметрии
В заключение укажем, что качественные свойства поляризационных эффектов при рассеянии фотонов на электронах следуют уже из общих требований симметрии.
Параметр |а циркулярной поляризации — псевдоскаляр (см. § 8). Поэтому в силу требования Р-инвариантности члены вида оо (или оо ?j) в сечении рассеяния могли бы возникнуть лишь как
f = —— (1 — cos-&)(kcos'& + k'), f' = —^ (1 — cos •&) (k + k' cos •&),
(87,23)
(k—k') , (k-k') •
da a, g) = da (I) +1 r\ (J)2 У W (87,24)
S<f, = j^2g.
(87,25)
ПОЛЯРИЗАЦИОННЫЕ ЭФФЕКТЫ
40Э
произведение |2 на какой-либо псевдоскаляр, составленный из имеющихся в нашем распоряжении векторов к и к':). Но из двух полярных векторов нельзя составить псевдоскаляр. Отсюда и следует, что указанных членов в сечении не может быть.
Параметры линейной поляризации Ej и |3 связаны с компонентами двумерного (в плоскости, перпендикулярной к) симметричного тензора
5а3 = j (Р% + р&>) = j (' Н^3 , •
В данном случае одна из осей поляризации выбрана вдоль вектора v = [kk'], а другая лежит в плоскости к, к' (вдоль вектора [kv] или [k'v] для одного или другого фотона). Члены со |г могли бы возникнуть в сечении лишь как произведения 5азл,а[кЧ’]13 (или, что то же, Sa^vak^) и т. п. Но поскольку v —аксиальный, к — полярный вектор, а Sa(3 — истинный тензор, то такие произведения не инвариантны по отношению к инверсии. Поэтому членов со Ej (или со ^) в сечении тоже не может быть. Члены же со (или со |з) возникают как произведения Safivav^ и т. п. и соображениями симметрии не запрещаются.
Члены в сечении, пропорциональные электронной поляризации не запрещены по четности: такие члены могли бы быть образованы как произведения двух аксиальных векторов: ?v. Они, однако, должны отсутствовать в рассмотренном нами первом не исчезающем приближении теории возмущений как следствие эрмитовости матрицы рассеяния в этом приближении (§ 71).
В силу этой эрмитовости квадрат амплитуды рассеяния (а с ним и сечение) не меняется при перестановке начального и конечного состояний. В то же время сечение должно быть инвариантно по отношению к обращению времени —- перестановке начального и конечного состояния вместе с одновременным изменением знака векторов импульса и момента всех частиц (параметры же Стокса |1( Н2, |3 при этом не меняются —см. § 8). Комбинируя оба эти требования, заключаем, что в рассматриваемом приближении сечение не должно меняться при одновременном изменении знака всех импульсов и моментов без перестановки начального и конечного состояний, т. е. при преобразовании
k-—k, k' —-к', Б-—Б, Г—-Б' (87,26)
и неизменных параметрах |, .
х) Мы рассматриваем процесс в лабораторной системе, где р == О, Р'=к— к'. Очевидно, что интересующие нас следствия требований симметрии (наличие или отсутствие тех или иных членов в сечении) не зависят от выбора системы отсчета.
410
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ С ФОТОНАМИ
[Гл. X
Преобразование (87,26) меняет знак произведения ?v, и потому такие члены не могут фигурировать в сечении. Подчеркнем, однако, что этот запрет не является следствием строгих требований симметрии и может нарушаться в следующих приближениях теории возмущений.
Из членов двойной корреляции между поляризациями фотонов друг с другом симметрией по четности запрещены тслько члены вида и |2?3, а из корреляции фотонов с электронами не запрещены никакие. Однако все члены вида ?3?
запрещены в первом приближении требованием инвариантности относительно преобразования (87,26). Так, члены вида |^2 и можно было бы образовать (с точки зрения соблюдения четности) как скаляры, например llSapft'avp и (Sap^avp) (gk); эти комбинации, одиако, меняют знак при преобразовании (87,26).
Разрешенные корреляционные члены вида |2? могут быть образованы как произведения типа ?г(?к). Векторы поляризации электронов входят в них лишь в виде проекций на плоскость рассеяния.
Наконец, ряд соотношений между коэффициентами в разрешенных членах возникает из требований кросс-универсальности. Каналы реакции, отличающиеся перестановкой начального и конечного фотонов, отвечают одинаковому процессу — рассеянию фотона на электроне. Поэтому квадрат модуля амплитуды, а с ним и сечение рассеяния должны быть инвариантны по отношению к преобразованию, выражающему переход от одного из этих каналов к другому,
— k',
при неизменных импульсах и поляризациях электронов. В трехмерном виде это преобразование означает замены:
со<-> — со', к <-> — к',
^(87,27)
Изменение знака параметра ?2 очевидно из выражения ?2 = ¦^=/[ее*]п, в котором вектор [ее*] при замене е<-»е* меняет знак, а вектор п = k/со при замене к<-> — к, со<-> — со не меняется. Преобразование (87,27), не затрагивая импульсов электронов, оставляет лабораторную систему лабораторной. Поэтому сечение
(87,22) не должно менять своего вида при этом преобразовании; формулы. (87,12), (87,22—23) действительно удовлетворяют этому условию.
ДВУХФОТОННАЯ АННИГИЛЯЦИЯ ЭЛЕКТРОННОЙ ПАРЫ
411
§ 88. Двухфотонная аннигиляция электронной пары
Аннигиляции электрона и позитрона (4-импульсы р_ и р+) с образованием двух фотонов (k± и к2) отвечают две диаграммы:
