Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.
Скачать (прямая ссылка):
Мы поступим примерно так же, как в § 83, т. е. будем вычислять в первом не исчезающем приближении амплитуду упругого (без изменения внутреннего состояния) рассеяния двух различных атомов. Полученное выражение мы сравним с амплитудой, которая получилась бы при описании взаимодействия атомов потенциальной энергией V (г).
В последнем случае первым не исчезающим элементом S-матрицы, описывающим данный процесс, был бы элемент первого приближения
Sfi = — i \ ФГ (г,) ф.Г (r2) U (г) (гг) i|>a (r2) d3xx d3х2X
X J exp {—i (el -f е2 — е* — е2) t\dt. (85,1)
Здесь t|7l, г|зг и i&, — не зависящие от времени части волновых
функций (плоских волн), описывающих поступательное движение двух атомов с начальным и конечными импульсами; e1( е2 и е^, е2—- кинетические энергии этого движения; координаты 1\ и г2 атомов как целого можно понимать как координаты их ядер, а расстояние г = j гл—г,|. Временной интеграл в (85,1) дает, как обычно, S-функцию, выражающую собой закон сохранения энергии. Для дальнейшего сравнения будет, однако, удобно формально рассматривать предельный случай бесконечно больших масс атомов; при заданных их импульсах этому пределу отвечают равные нулю энергии е. Иначе, можно сказать, что рассматриваются времена, малые по сравнению с периодами 1/е. Тогда (85,1) примет вид
Sfi = — it J ¦фГ'фГ V (г) dsx± d3x2, (85,2)
где t — интервал интегрирования по времени.
Фактическое вычисление амплитуды упругого рассеяния можно при сделанных предположениях разбить на два этапа. Сначала усредняем S-оператор по волновым функциям неизменных (основ-
390
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ
[Гл. IX
ных) состояний обоих атомов (при заданных координатах их ядер гх и гг), а также по фотонному вакууму —в начале и в конце процесса фотоны отсутствуют. В результате получим величину, являющуюся функцией взаимного расстояния ядер; обозначим ее <S (г) > *). Чтобы найти искомый матричный элемент перехода, надо вычислить затем интеграл
s/i = J <S (ф ipA d3x1 d3x2. (85,3)
Сравнив с (85,2), мы видим, что если получить выражение <S(r)> в виде
<5 (/-)> = —(W (г),
то функция U (г) и будет искомой энергией взаимодействия атомов.
Поскольку мы имеем дело в данном случае со столкновением не элементарных частиц, а сложных систем (атомов, которые в промежуточных состояниях могут быть возбуждены), то обычные формальные правила диаграммной техники здесь непосредственно неприменимы, и мы начнем с исходного выражения S-оператора в виде разложения (72,10).
Для взаимодействия атомов существенны компоненты полей с частотами порядка атомных (и меньшими). Соответствующие длины волн велики по сравнению с атомными размерами. Поэтому оператор электромагнитного взаимодействия может быть взят в виде
V — — Ё (гх) dx —Ё (r2) d2, (85,4)
где dt, d3 — операторы дипольных моментов атомов (имеются в виду зависящие от времени —гейзенберговские — операторы), а Ё (г) —оператор электрического поля, который берется в точках нахождения соответствующих атомов.
Как известно, средние значения дипольного момента атома в его стационарных состояниях равны нулю (см. III, § 75). Отсюда следует, что отличная от нуля амплитуда рассеяния появится только в четвертом приближении теории возмущений, т. е. как матричный элемент оператора
5<4) - Чг J dti • • • J ^ • Т ^ &) Р (**) Р (*.) ? (*«)}¦ (85,5)
Действительно, в более низких порядках каждый член в произведениях операторов V будет содержать хотя бы один из операторов dj или d2 в первой степени и при усреднении по состоянию соответствующего атома обратится в нуль.
г) Вместо более громоздкого обозначения диагонального матричного элемента—с указанием состояний атома и фотонного поля.
§ 85]
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ НЛ ДАЛЕКИХ РАССТОЯНИЯХ
391
Усредним оператор (85,5) по фотонному вакууму. По теореме Вика среднее от произведения четырех операторов поля Ё сводится к сумме произведений их попарных средних (сверток). Разбиение на пары может быть произведено тремя способами, которые можно изобразить диаграммами:
где пунктирные линии изображают свертки, а цифрам отвечают аргументы /3, tx. Кроме того, каждой точке могут отвечать
пространственные координаты гх или г2 (причем двум точкам Ti и двум г2; в противном случае в данном члене суммы один из
при усреднении по состоянию атома). Очевидно, что в точках, соединенных линиями, должны стоять различные гх и г2. В грэ-тивном случае диаграмма (т. е. соответствующий ей член в матричном элементе) сведется к произведению независимых фун кий от гх и от г,, вместо того чтобы быть функцией от разности rj— г2; такие члены не имеют отношения к рассеянию1). В соответствии с этими условиями можно расставить аргументы гх и г2 по четырем точкам диаграммы четырьмя способами. Учитывая также коммутативность операторов d( и d2 и усредняя по состояниям каждого из атомов, найдем, что все получающиеся таким образом
3-4 = 12 членов одинаковы (они различаются лишь обозначением переменных интегрирования). В результате получим
воспользуемся калибровкой потенциалов, в которой скалярный потенциал Ф = 0. Тогда Ё = — dA/dt, и мы имеем
