Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.
Скачать (прямая ссылка):
1) Эти потери часто называют ионизационными, хотя они связаны не только с ионизацией, но и с возбуждением атомов.
2) Безразлично какой: после подразумевающегося ниже суммирования
°о направлениям момента атома в конечном состоянии матричный элемент хп0
Уже не зависит от направления оси х.
374 ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ [Гл. IX
нить интегрированием по q2, заметив, что
-^ = - юЛо + Ч2«-<4, +*Ф + Р2Ъ2 = ^ + Рай2 (82,11)
и потому 2ft dft = d \ q21 /р2 (УИ — масса быстрой частицы). В результате получим
М?2'
<?2!2
х = 4я (ге2)2 ? J { | (е-“р)в0 |2 ^—со»01 хп0 ]2 + -^) } у
(82,12)
Нижний предел интегрирования по q2:
k2Ln=^®20. (82,13)
В качестве же верхнего предела выберем некоторое значение [<72|i такое, что
1Г<т' (82>14>
т. е. лежащее в области перекрытия областей I и II (82,1).
Интегрирование и суммирование в (82,12) осуществляется
подобно тому, как это было сделано в III, § 149 для нереля-
тивистского случая. Весь интервал интегрирования разделим еще на две части: а) от |<73|min до |^2|0 и б) от |<72|0 до |^2|i, где значение |<7а|0 такое, что
IM г_______
17) <К|<7210 < tna (82,15)
(величина та, стоящая справа, — порядка величины импульсов атомных электронов). В области а) можно разложить e_I'qr« 1— iqr, и вклад этой области в к принимает вид
I <72 1о ,
Г 1 1 1 м 1 I ,
4я (гег)22а \ \^®пок„о!2Г^“^®яо|^о|2ет/^к21»
4я (ze2)2
I ®по I хпо I
‘ I Я2 1оР2
1П М2(х>пО
(Интегрирование во втором члене можно распространить до бесконечности.)
Суммирование осуществляется с помощью формулы
P-jLz, (82,16)
где Z—число электронов в атоме (см. III (149,10)). Результат представим в виде
<82’17>
§ 82] ИОНИЗАЦИОННЫЕ ПОТЕРИ БЫСТРЫХ ЧАСТИЦ 375
где / — некоторая средняя атомная энергия, определяемая формулой
2 “ло I I2 In м„о
1п 7 = = “»• II21п <82’18)
tono | %П0 I гг
п
В области же б) имеем согласно (82,11) |<72|«р2{}2, т. е. |^2| не зависит от номера п конечного состояния атома; не зависят от п также и пределы интегрирования. Поэтому суммирование по п в (82,12) можно произвести под знаком интеграла. В первом члене оно осуществляется формулой
El(e-‘'4rUa«no==J;q2 (82,19)
П
(см. III (149,5)), и интеграл от него равен1)
2nZ ( ze2)3 | | q2 \t
mu* JrV|„*
Интеграл же от второго члена в (82,12) по этой области дает пренебрежимый вклад в к.
Складывая последнюю формулу с (82,17), находим вклад в к от всей области малых передач импульса:
2nZ (ze2)2 Г . | q- |х р" 21 /оо пт
Большие передачи импульса
Обратимся к столкновениям с передачей импульса, большой по сравнению с импульсом атомных электронов (q2^>т1). В этой области можно, очевидно, пренебречь связью электронов в атоме, т. е. считать их свободными. Соответственно этому столкновение быстрой частицы с атомом будет представлять собой ее упругое рассеяние на каждом из Z атомных электронов. При этом ввиду большой величины скорости частицы атомные электроны можно считать первоначально покоящимися.
Обозначим посредством тЛ энергию, передаваемую быстрой частицей атомному электрону, и пусть daA — сечение упругого рассеяния с такой передачей. Дифференциальное эффективное торможение на всем атоме будет тогда
dx = ZmAdOb. (82,21)
Максимальная энергия, которая может быть передана покоящемуся электрону сталкивающейся с ним частицей массы М^>т,
*¦) Логарифмическая расходимость интеграла на верхнем пределе есть как раз та причина, по которой в первом члене в (82,12) нельзя было разлагать е ~‘чг по степеням q.
376
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭЛЕКТРОНОВ
[Гл. IX
равна
2тр2
2mp2
М2 -f 2/ns *
где е и р — энергия и импульс налетающей частицы (см. II (13,13)). Будем предполагать далее, что энергия. е хотя и может быть ультрарелятивистской (е^>УИ), но в то же время
остается еще малой по сравнению с первоначальной кинетической энергией падающей частицы (тДшах<^е—М). Соответственно и передача импульса q остается всегда малой по сравнению с первоначальным импульсом частицы р. Это обстоятельство позволяет считать движение последней неменяющимся при столкновении, т. е. рассматривать падающую частицу как бесконечно тяжелую. Тогда сечение рассеяния получится просто преобразованием сечения рассеяния электрона на неподвижном центре (80,7) к лабораторной системе отсчета, в которой электрон первоначально покоился. Это легко сделать, заметив, что в указанном приближении
а относительная скорость v в обеих системах — одна и та же. Формула (80,7) принимает вид
Передача энергии А выражается через тот же инвариант q2 согласно —g2 = 2m2A. Поэтому имеем1)
Вклад в эффективное торможение от рассматриваемой области передач импульса получится интегрированием (82,21) в пределах от введенной выше границы |^2|( до | q2 |maj[ = 2m2Ama)(. Он равен
J) В этой формуле не учитываются, конечно, специфические эффекты сильных взаимодействий, если тяжелая частица является адроном. Эти эффекты (адронный формфактор), однако, становятся существенными лишь при | <?21 со 1/Л42, а при условии (82,22) такие передачи импульса исключены.
(82,22)
Тогда даже максимальная передаваемая энергия
mAmax ж = 2mw2y2 (у = е/М = 1/]Л—и2) (82,23)
