Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.
Скачать (прямая ссылка):
Как и для всякой частицы, состояние фотона характеризуется также своей четностью, связанной с поведением волновой функции при инверсии системы координат (см. III, § 30). В импульсном представлении изменению знака координат отвечает изменение знака всех компонент к. Воздействие оператора инверсии Р на скалярную функцию ф (к) заключается только в этом изменении: Рф(к) = ф(—к). При воздействии же на векторную функцию А (к) надо еще учесть, что изменение направления осей на обрат-
МОМЕНТ И ЧЕТНОСТЬ ФОТОНА
35
ное меняет также знак всех компонент вектора; поэтому1)
PA(k)=-A(-k). (6,1)
Хотя разделение момента фотона на орбитальный момент и спин лишено физического смысла, тем не менее удобно ввести «спин» s и «орбитальный момент» / формальным образом как вспомогательные понятия, выражающие свойства преобразования волновой функции по отношению к вращениям: значение s= 1 отвечает векторности волновой функции, а значение / есть порядок входящих в нее шаровых функций. Мы имеем при этом в виду волновые функции состояний с определенными значениями момента фотона, представляющие собой для свободной частицы сферические волны. Число / определяет, в частности, четность состояния фотона, равную
/> = (-1)'+1- (6,2)
В таком же смысле можно представить оператор момента] как сумму s + 1. Оператор момента связан, как известно, с оператором бесконечно малого поворота системы координат; в данном случае — с действием этого оператора на векторное поле. В сумме s + 1 оператор s действует на векторный индекс, преобразуя друг через друга различные компоненты вектора. Оператор же 1 действует на эти компоненты как на функции импульса (или координат).
Подсчитаем число состояний (с заданной энергией), которые возможны при заданной величине j момента фотона (отвлекаясь при этом от тригнального (2/ + 1)-кратного вырождения по направлениям момента).
При независимых 1 и s такое вычисление осуществляется просто путем подсчета числа способов, которыми можно по правилам векторной модели сложить моменты 1 и s так, чтобы получить нужное значение Для частицы со спином s=l мы нашли бы таким образом (при заданном отличном от нуля значении /) три состояния со следующими значениями / и четности:
/ = /, Р = (-1)'+1 = (-1у+ь / = /±1, Р = (-1)‘+1 = (_1)/.
Если же /= 0, то получается всего одно состояние (с / = 1) с четностью Р = + 1.
В этом подсчете, однако, не учтено условие поперечности вектора А; все три его компоненты рассматривались как независи-
*) Мы условимся определять четность состояния по действию оператора Инверсии на полярный вектор, каковым является А (или соответствующий электрический вектор Е = гшА). Оно отличается по знаку or действия на аксиальный вектор H = i[kA], поскольку инверсия не м°чяег направление Такого вектора:
pH(k)H=H(-k).
36
ФОТОН
[Гл I.
мые. Поэтому из полученного числа состояний надо еще вычесть число состояний, соответствующих продольному вектору. Такой вектор можно написать в виде кф (к), откуда ясно, что по своим трансформационным (по отношению к вращениям) свойствам его три компоненты эквивалентны всего одному скаляру ср1). Следовательно, можно сказать, что лишнее состояние, не совместимое с условием поперечности, соответствовало бы состоянию частицы со скалярной волновой функцией (спинор ранга 0), т. е. со «спином О»2). Момент / этого состояния совпадает поэтому с порядком входящих в ф сферических функций. Четность же этого состояния как состояния фотона определяется действием оператора инверсии на векторную функцию кф:
Р (кф) = — (— к) ф (— к) = (—1 у кф (к),
т. е. равна (—1)Л Таким образом, из полученного выше числа состояний с четностью (—\у (двух при /^0 и одного при / = 0) надо вычесть одно.
Окончательно мы приходим к результату, что при отличном от нуля моменте фотона / существуют одно четное и одно нечетное состояния. При / = 0 мы не получим вовсе никаких состояний. Это означает, что фотон вообще не может иметь равного нулю момента, так что / пробегает лишь значения 1, 2,
3, ... Невозможность значения / = 0 очевидна, впрочем, заранее: волновая функция состояния с равным нулю моментом должна быть сферически-симметрична, что заведомо невозможно для поперечной волны.
Принята определенная терминология для различных состояний фотона. Фотон в состоянии с моментом / и четностью (—1 у называют электрическим 2>-польным (или ^/-фотоном), а при четности (—iy+1—магнитным 2J'-польным (или Му-фотоном). Так, электрическому дипольному фотону отвечает нечетное состояние с / = 1, электрическому квадрупольному — четное состояние с / = 2, магнитному дипольному — четное состояние с у = 13).
г) Действительно, когда говорят о характере преобразования величины при вращении, речь идет о преобразовании в данной точке, т. е. при заданном к. При таком преобразовании кф (к) вообще не меняется, т. е. ведет себя как скаляр.
2) Подчеркнем лишний раз, что здесь не имеется в виду состояние какой-либо реальной частицы. Производимый подсчет имеет формальный характер и сводится, с математической точки зрения, к классификации всей совокупности преобразующихся друг через друга величин по неприводимым представлениям группы вращения.
