Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.
Скачать (прямая ссылка):
<Pk
(2л)3
для числа возможных значений к, приходящихся на элемент объема к-пространства d3k = dkxdkydkz.
Заданием векторов at полностью определяется поле в рассматриваемом объеме. Таким образом, эти величины можно рассматривать как дискретный набор классических «переменных поля». Для выяснения способа перехода к квантовой теории, однако, следует произвести еще некоторое преобразование этих переменных, в результате которого уравнения поля приобретают вид, аналогичный каноническим уравнениям (уравнениям Гамильтона) классической механики. Канонические переменные поля определяются посредством
Qk = — г-— (аь + ак),
(2,6)
Рк = -~f= (ак — аО = Qk
У 4я
(они, очевидно, вещественны). Векторный потенциал выражается через канонические переменные согласно
А =|/4я2 ^Qkcoskr—i-Pksinkr) . (2,7)
Для нахождения функции Гамильтона Я надо вычислить полную энергию поля
тИ<Е’+н*)Л.
выразив ее через величины Qk, Pk. Представив А в виде разложения (2,7), вычислив Е и Н согласно (2,2) и произведя интегрирование, получим
// = ^(Pi + cojQ5). к
Каждый из векторов Рк и Qk перпендикулярен к волновому вектору к, т. е. имеет по две независимые компоненты. Направление этих векторов определяет направление поляризации соответствующей волны. Обозначив две компоненты векторов Qk, Pk (в плоскости, перпендикулярной к) посредством Qka. Рка (а = 1, 2), перепишем функцию Гамильтона в виде
Я=Хт(Рка + со2^“)- (2,8)
ка
КВАНТОВАНИЕ СВОБОДНОГО ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ
23
Таким образом, функция Гамильтона распадается на сумму независимых членов, каждый из которых содержит только по одной паре величин Qка, Рка¦ Каждый такой член соответствует бегущей волне с определенными волновым вектором и поляризацией, причем имеет вид функции Гамильтона одномерного гармонического осциллятора. Поэтому о полученном разложении говорят как о разложении поля на осцилляторы.
Перейдем теперь к квантованию свободного электромагнитного поля. Изложенный способ классического описания поля делает очевидным путь перехода к квантовой теории. Мы должны рассматривать теперь канонические переменные—обобщенные координаты Qka и обобщенные импульсы Рка—как операторы с правилом коммутации
PkaQka QkaPka = — t (2,9)
(операторы же с разными ка все коммутативны друг с другом). Вместе с ними становятся операторами (эрмитовыми) также потенциал А и, согласно (2,2), напряженности Е и Н.
Последовательное определение гамильтониана поля требует вычисления интеграла
^ = J (Ё2 + Н2) d3x, (2,10)
в котором Ё и Н выражены через операторы Р^а, Фактически, однако, некоммутативность последних при этом не проявляется, так как произведения Qka-Pka входят с множителем cos kr sin кг, обращающимся в нуль при интегрировании по всему объему. Поэтому в результате для гамильтониана получается выражение
Я = ?у(?к« + <»*$к«), (2,11)
ка
в точности соответствующее классической функции Гамильтона, что и естественно было ожидать.
Определение собственных значений этого гамильтониана не требует особых вычислений, так как сводится к известной задаче об уровнях энергии линейных осцилляторов (см. III, §23). Поэтому мы можем сразу написать для уровней энергии поля
? = X(Wka+j)co^ (2,12)
ka
где A/’ka — целые числа.
К обсуждению этой формулы мы вернемся в следующем параграфе, а сейчас выпишем матричные элементы величин Qka. что Можно сделать непосредственно с помощью известных формул
24 ФОТОН 1гл. I
для матричных элементов координат осциллятора (см. III, §23). Отличные от нуля матричные элементы равны
<Nka | Qka | Nka - 1> = <Nka — 11 Qk« | Nka> = • <2’13)
Матричные элементы величин Pka = Qka отличаются от матричных элементов Qka лишь множителем ± to.
В дальнейших вычислениях, однако, будет удобнее пользоваться вместо величин Qka, Рка их линейными комбинациями coQka ± t^ka, которые имеют матричные элементы только для переходов Nka —1>• N ka ± 1 • Соответственно этому вводим операторы
?ка " / —- (®Qka Ч- lPka)> Ска — {®Qka iРка) (2,14)
У 2со У 2со
(классические величины Ска, ска совпадают с точностью до множителя j/2jt/a> с коэффициентами aka, ака в разложении (2,4)). Матричные элементы этих операторов равны
*\Nka — 1 | ска | Nка> = <Л/ка 1 ска | А/ка — 1 У = V^ka • (2,15)
Правило коммутации между Ска и Cka получается с помощью определения (2,14) и правила (2,9):
Йса^ка ^кайса= 1 • (2,16)
Для векторного потенциала мы возвращаемся к разложению вида (2,4), в котором, однако, коэффициенты являются теперь операторами. Напишем его в виде
А = ^ (^kaAka “ЬCkaAka), (2,17)
ka
где
,---p(a)
Aka = V4ny==elkr. (2,18)
Мы ввели обозначение е<“> для единичных векторов, указывающих направление поляризации осцилляторов; векторы е(а) перпендикулярны волновому вектору к, причем для каждого к имеются две независимые поляризации.
Аналогично для операторов Ё и Н напишем
Ё = 2 (^kaEka ~f" ЙгаЕка), ka
н = 2 (ckaHka + Ck+aHL), ^ ^
kaj
причем
Eka ЧЯ i«>Aka, Hka=[nEka] (n —k/co). (2,20)
§ 2] КВАНТОВАНИЕ СВОБОДНОГО ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ 25
Векторы Aka взаимно ортогональны в том смысле, что
j AkoXa' d3X = Saa'Skk' . (2,21)
