Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.
Скачать (прямая ссылка):
Ак=У 4n-^=e~lkx, ее* = —1. (4,3)
у 2ш
Здесь 4-импульс 6^= (со, к) (так что kx = wt — кг), а е— единичный 4-вектор поляризации1).
Если ограничиться калибровочными преобразованиями, не меняющими зависимости функции (4,3) от координат и времени, то они будут состоять в замене
ец-кг^+xk», (4,4)
где х = х(^) — произвольная функция Поперечность поляризации означает, что всегда возможна такая калибровка, при которой 4-вектор е имеет вид
е^ = (0, е), ек = 0 (4,5)
(такую калибровку мы будем называть трехмерно поперечной). В инвариантном четырехмерном виде это требование записывается в виде условия четырехмерной поперечности
ek = 0. (4,6)
Обратим внимание на то, что это условие (как и нормировочное условие ее* = — 1) не нарушается преобразованием (4,4) в силу того, что ?2 = 0. С другой стороны, равенство нулю квад-
1) Выражение (4,3) не имеет вполне релятивистсьи-копариактного (4-век-торного) вида, что связано с неинвариантным характером принятой нами нормировки на конечный объем V = 1 Это, однако, не имеет принципиального значения и вполне компенсируется удобствами, представляемыми таким способом нормировки Мы увидим в дальнейшем, что им обеспечивается простое и автоматическое получение реальных физических величин в должной инвариантной форме.
ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ В КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ
31
рата 4-импульса частицы означает равенство нулю ее массы. Тем самым выявляется связь между калибровочной инвариантностью и равенством нулю массы фотона (другие аспекты этой связи будут указаны в § 14).
Никакие измеримые физические величины не должны меняться при калибровочном преобразовании волновых функций фотонов, участвующих в процессе. Это требование калибровочной инвариантности играет в квантовой электродинамике даже большую роль, чем в классической теории. Мы увидим на многочисленных примерах, что оно является здесь, наряду с требованием релятивистской инвариантности, мощным эвристическим принципом
В свою очередь калибровочная инвариантность теории тесно связана с законом сохранения электрического заряда, мы остановимся на этом ее аспекте в § 43.
Мы упоминали уже в предыдущем параграфе, что координатная волновая функция фотона не может быть истолкована как амплитуда вероятности его пространственной локализации. В математическом аспекте это обстоятельство проявляется в невозможности составить с помощью волновой функции величину, которая уже хотя бы по своим формальным свойствам могла играть роль плотности вероятности. Такая величина должна была бы выражаться существенно положительной билинейной комбинацией из волновой функции Ац, и ее комплексно-сопряженной. Кроме того, она должна была бы удовлетворять определенным требованиям релятивистской ковариантности —представлять собой временную компоненту 4-вектора (дело в том, что уравнение непрерывности, выражающее собой сохранение числа частиц, записывается в четырехмерном виде как равенство нулю дивергенции 4-вектора тока; временной компонентой последнего и является в данном случае плотность вероятности локализации частицы, см. II, § 29). С другой стороны, в силу требования калибровочной инвариантности 4-вектор Лц мог бы входить в ток лишь в виде антисимметричного тензора Fllv = dllAv — dvAli = —i (k^A^ — k^A^). Таким образом, 4-вектор тока должен был бы составляться билинейно из Fw и F^-i (и компонент 4-вектора ?ц). Но такой 4-вектор вообще невозможно составить: всякое выражение, удовлетворяющее поставленным условиям (например, klF^F\), обращается в нуль в силу условия поперечности (k'KFv\ = 0), не говоря уже о том, что оно не было бы существенно положительным (так как содержит нечетные степени компонент kщ).
§ 5. Электромагнитное поле в квантовой теории
Описание поля как совокупности фотонов есть единственное /^Писание, вполне адекватное физическому смыслу электромагнитного поля в квантовой теории. Оно заменяет собой классическое
32
ФОТОН
[Гл. I
описание с помощью напряженностей поля. Последние выступают в математическом аппарате фотонной картины как операторы вторичного квантования.
Как известно, свойства квантовой системы приближаются к классическим в тех случаях, когда велики квантовые числа, определяющие стационарные состояния системы. Для свободного электромагнитного поля (в заданном объеме) это означает, что должны быть велики квантовые числа осцилляторов, т. е. числа фотонов Nka- В этом смысле глубокое значение имеет то обстоятельство, что фотоны подчиняются статистике Бозе. В математическом формализме теории связь статистики Бозе со свойствами классического поля проявляется в правилах коммутации операторов ска, ска. При больших Nка, когда велики матричные элементы этих операторов, можно пренебречь единицей в правой стороне перестановочного соотношения (2,16), в результате чего получится
т. е. эти операторы перейдут в коммутирующие друг с другом классические величины Ска, определяющие классические напряженности поля.
Условие квазиклассичности поля требует, однако, еще уточнения. Дело в том, что если велики все числа Nka, то при суммировании по всем состояниям ка энергия поля во всяком случае окажется бесконечной, так что условие становится беспредметным.
