Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.
Скачать (прямая ссылка):
Действительно, если Aka и Ak-a- отличаются волновыми векторами, то их произведение содержит множитель el <k~k >г, дающий нуль при интегрировании по объему; если же они отличаются лишь поляризациями, то e(a)e<a'> * = 0, так как два независимых направления поляризации взаимно ортогональны. Аналогичные соотношения справедливы для векторов Eka, Hka- Их нормировку удобно записать в виде
j (EkaEk'a' + HkaH^a')d3* = ®6kk'Saa'. (2,22)
Подставив операторы (2,19) в (2,10) и произведя интегрирование с помощью (2,22), получим гамильтониан поля, выражен-
ный через операторы с, с+:
Н = ~2 ® (^ka^ka ^ka^ka)- (2,23)
ka
Этот оператор в рассматриваемом представлении (матричные элементы операторов с, с+ из (2,15)) диагонален, и его собственные значения совпадают, конечно, с (2,12).
В классической теории импульс поля определяется как интеграл:
При переходе к квантовой теории заменяем Е и Н операторами (2,19) и без труда находим
P = ^T(^a + co2QL)n (2,24)
ka
— в соответствии с известным классическим соотношением между энергией и импульсом плоских волн. Собственные значения этого оператора
Р = ? k(tfka +4-) • (2,25)
ka 4 1
Представление операторов, осуществляемое матричными элементами (2,15), есть «представление чисел заполнения»,— оно отвечает описанию состояния системы (поля) путем задания кван-
товых чисел yVka (числа заполнения). В этом представлении операторы поля (2,19) (а с ними и гамильтониан (2,11)) действуют на волновую функцию системы, выраженную в функции чисел Afka; обозначим ее через Ф (Nua, t). Операторы поля (2,19) не зависят
26
ФОТОН
[Гл. I
явно от времени. Это соответствует обычному в нерелятивистской квантовой механике шредингеровскому представлению операторов. Зависящим же от времени является при этом состояние системы Ф (/Vka> t), причем эта зависимость определяется уравнением Шредингера
Такоэ описание поля по существу релятивистски инвариантно, поскольку оно базируется на инвариантных уравнениях Максвелла. Но эта инвариантность не выявлена явно,— прежде всего потому, что пространственные координаты и время входят в описание крайне несимметричным образом.
В релятивистской теории целесообразно придать описанию внешне более инвариантный вид. Для этой цели надо воспользоваться так называемым гейзенберговским представлением, в котором явная временная зависимость перенесена на сами операторы (см. III, § 13). Тогда время и координаты будут равноправным образом входить в выражения для операторов поля, а состояние системы Ф будет функцией только от чисел заполнения.
Для оператора А переход к гейзенберговскому представлению сводится к замене в каждом члене суммы в (2,17), (2,18) множителя е,кг на е‘<кг_и^, т. е. к тому, чтобы под Aka понимать зависящие от времени функции
Aka (2,26)
В этом легко убедиться, заметив, что матричный элемент гейзенберговского оператора для перехода i —>- f должен содержать множитель exp {~i(El—E/)t), где E,nEf—энергии начального и конечного состояний (см. III, § 13). Для перехода с уменьшением или увеличением Nk на 1 этот множитель сводится соответственно к е~ш/ или emt. Это требование будет соблюдено в результате указанной замены.
В дальнейшем (при рассмотрении как электромагнитного поля, так и полей частиц) мы всегда будем подразумевать гейзенберговское представление операторов.
§ 3. Фотоны
Обратимся к обсуждению полученных формул квантования поля.
Прежде всего, формула (2,12) для энергии поля обнаруживает следующую трудность. Наиболее низкому уровню энергии поля соответствует равенство нулю квантовых чисел Nka всех осцилляторов (это состояние называют состоянием вакуума электро-
ФОТОНЫ
27
магнитного поля). Но даже в этом состоянии каждый осциллятор обладает отличной от нуля «нулевой энергией» ю/2. При суммировании же по всему бесконечному числу осцилляторов мы получим бесконечный результат. Таким образом, мы сталкиваемся с одной из «расходимостей», к которым приводит отсутствие полной логической замкнутости существующей теории.
Пока речь идет лишь о собственных значениях энергии поля, мы можем устранить эту трудность путем простого вычеркивания энергии нулевых колебаний, т. е. написав для энергии и импульса поля1)
?=2ЖаЮ, Р=2^как. /3 14
ka ka v ’ '
Эти формулы позволяют ввести основное для всей квантовой электродинамики понятие о световых квантах или фотонах2). Именно, мы можем рассматривать свободное электромагнитное поле как совокупность частиц, каждая из которых имеет энергию (о(=1ш) и импульс k(=nfeo/c). Соотношение между энергией и импульсом фотона — такое, каким оно должно быть в релятивистской механике для частиц с равной нулю массой покоя, движущихся со скоростью света. Числа заполнения N^a приобретают смысл чисел фотонов с данными импульсами к и поляризациями е(а). Свойство поляризации фотона аналогично понятию спина у других частиц (специфические особенности фотона в этом отношении будут рассмотрены ниже, в § 6).
Легко видеть, что' весь развитый в предыдущем параграфе математический формализм находится в полном соответствии с представлением об электромагнитном поле как о совокупности фотонов; это есть не что иное, как аппарат так называемого вторичного квантования в применении к системе фотонов3). В этом методе (см. III, § 64) роль независимых переменных играют числа заполнения состояний, а операторы действуют на функции этих чисел. При этом основную роль играют операторы «уничтожения» и «рождения» частиц, соответственно уменьшающие или увеличивающие на единицу числа заполнения. Именно такими опера-
