Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.
Скачать (прямая ссылка):
Физически осмысленная постановка вопроса об условиях квазиклассичности основана на рассмотрении значений поля, усредненных по некоторому небольшому промежутку времени At. Если представить классическое электрическое поле Е (или магнитное поле Н) в виде разложения в интеграл Фурье по времени, то при усреднении его по промежутку времени Д^ заметный вклад в среднее значение Ё дадут только те из компонент Фурье, частоты которых удовлетворяют условию соД^1; в противном случае осциллирующий множитель е~ш при усреднении почти обратится в нуль. Поэтому при выяснении условия квазиклассичности усредненного поля надо рассматривать лишь те из квантовых осцилляторов, частоты которых /At. Достаточно потребовать, чтобы были велики квантовые числа этих осцилляторов.
Число осцилляторов с частотами между нулем и ш~1/Дt (отнесенное к объему V = \) по порядку величины равно1)
(5,1)
*) В этом параграфе пользуемся обычными единицами.
МОМЕНТ И ЧЕТНОСТЬ ФОТОНА
33
Полная энергия поля в единичном объеме ~ Е2. Разделив эту величину на число осцилляторов и на некоторую среднюю энер-гию отдельного фотона (~ fm), мы найдем порядок величины чисел фотонов
Ё2с3 &са4
Nk.
Потребовав, чтобы это число было велико, получим неравенство
(6'2)
Это и есть искомое условие, допускающее классическое рассмотрение усредненного (по промежуткам времени А^) поля. Мы видим, что поле должно быть достаточно сильным —тем большим, чем меньше интервал усреднения А^. Для переменных полей этот интервал не должен, разумеется, превышать периодов времени, в течение которых поле заметно меняется. Поэтому достаточно слабые переменные поля во всяком случае не могут быть квази-классичны. Лишь в случае статических (постоянных во времени) полей можно положить At->-oo, так что правая сторона неравенства (5,2) обращается в нуль. Это значит, что статическое поле всегда классично.
Уже было указано, что классические выражения для электромагнитного поля в виде суперпозиции плоских волн должны рассматриваться в квантовой теории как операторные. Физический смысл этих операторов, однако, весьма ограничен. Действительно, физически осмысленный оператор поля должен был бы приводить к равным нулю значениям поля в состоянии фотонного вакуума. Между тем среднее значение оператора квадрата поля Ё2 в нормальном состоянии, совпадающее с точностью до множителя с нулевой энергией поля, оказывается бесконечным (под «средним значением» мы понимаем квантовомеханическое среднее значение, т. е. соответствующий диагональный матричный элемент оператора). Избежать этого нельзя даже с помощью какой-либо формальной операции вычеркивания (как это можно сделать для энергии поля), так как в данном случае мы должны были бы сделать это путем кого-либо разумного видоизменения самих операторов Ё, Н (а не их квадратов), что оказывается невозможным.
§ 6. Момент и четность фотона
Как и всякая частица, фотон может обладать определенным моментом импульса. Для выяснения свойств этой величины У фотона предварительно напомним, каким образом связаны
34
ФОТОН
[Гл. I
в математическом аппарате квантовой механики свойства волновой функции частицы с ее моментом.
Момент частицы j складывается из ее орбитального момента 1 и собственного момента — спина s. Волновая функция частицы со спином s есть симметричный спинор ранга 2s, т. е. представляет собой совокупность 2s+1 компонент, которые при поворотах системы координат преобразуются друг через друга по определенному закону. Орбитальный же момент связан с координатной зависимостью волновых функций: состояниям с орбитальным моментом I соответствуют волновые функции, компоненты которых выражаются (линейно) через шаровые функции порядка /.
Возможность последовательным образом различать спин и орбитальный момент требует, следовательно, независимости «спиновых» и «координатных» свойств волновых функций: координатная зависимость компонент спинора (в заданный момент времени) не должна ограничиваться никакими дополнительными условиями.
В импульсном представлении волновых функций координатной зависимости отвечает зависимость от импульса к. Волновой функцией фотона (в трехмерно поперечной калибровке) является вектор А (к). Вектор эквивалентен спинору 2-го ранга, и в этом смысле можно было бы приписать фотону спин 1. Но эта векторная волновая функция подчинена условию поперечности, kA(k) = 0, представляющему собой дополнительное условие, налагаемое на импульсную зависимость вектора А (к). В результате эта зависимость уже не может быть задана для всех компонент вектора одновременно произвольным образом, что и приводит к невозможности разделения орбитального момента и спина.
Отметим, что к фотону неприменимо также определение спина как момента покоящейся частицы, поскольку для фотона, движущегося со скоростью света, вообще не существует системы покоя.
Таким образом, для фотона можно говорить лишь о его полном моменте. При этом заранее очевидно, что полный момент может пробегать лишь целочисленные значения. Это видно уже из того, что среди величин, характеризующих фотон, нет никаких спиноров нечетного ранга.
