Квантовая электродинамика - Берестецкий В.Б.
Скачать (прямая ссылка):
х) Это вычеркивание можно произвести формально не противоречивым образом, условившись понимать произведения операторов в (2,10) как «нормальные», т. е. такие, в которых операторы с+ располагаются всегда левее операторов с. Формула (2,23) примет тогда вид
Й-2(шгксАа)-
кх
а) Представление о фотонах было впервые введено Эйнштейном (.4. Einstein. 1905).
3) Метод вторичного квантования в применении к теории излучения был развит Дираком (Я. А. М. Dirac, 1927).
28
ФОТОН
[Гл. I
торами и являются ско, ска: оператор ска уничтожает фотон в состоянии ка, а ска~ рождает фотон в этом состоянии.
Правило коммутации (2,16) соответствует случаю частиц, подчиняющихся статистике Бозе. Таким образом, фотоны являются бозонами, как этого и следовало ожидать заранее: допустимое число фотонов в любом состоянии должно быть произвольным (мы вернемся еще в § 5 к роли этого обстоятельства).
Плоские волны Ака (2,26), фигурирующие в операторе А (2,17) в качестве коэффициентов перед операторами уничтожения фотонов, можно трактовать как волновые функции фотонов, обладающих определенными импульсами к и поляризациями е<“>. Такая трактовка соответствует разложению ^-оператора в виде ряда по волновым функциям стационарных состояний частицы в нерелятивистском аппарате вторичного квантования (в отличие от последнего, однако, в разложение (2,17) входят как операторы уничтожения, так и операторы рождения частиц; смысл этого отличия выяснится в дальнейшем, см. § 12).
Волновая функция (2,26) нормирована условием
J^([Eka|2 + |Hkap)^=co. (3,2)
Это есть нормировка «на один фотон в объеме V ~ 1». Действительно, интеграл в левой стороне равенства представляет собой квантовомеханическое среднее значение энергии фотона в состоянии с данной волновой функцией1). В правой же стороне равенства (3,2) стоит энергия одного фотона.
Роль «уравнения Шредингера» для фотона играют уравнения Максвелла. В данном случае (для потенциала А (г, i), удовлетворяющего условию (2,1)) это—волновое уравнение
«Волновые функции» фотона в общем случае произвольных стационарных состояний представляют собой комплексные решения этого уравнения, зависящие от времени посредством множителя e~iat.
Говоря о волновой функции фотона, подчеркнем лишний раз, что ее отнюдь нельзя рассматривать как амплитуду вероятности пространственной локализации фотона—в противоположность основному смыслу волновой функции в нерелятивистской кван-
х) Обратим внимание на то, что коэффициент I /4л. в интеграле (3,2) в два раза больше обычного коэффициента 1 /8л в (2,10). Эта разница связана, в конечном свете, с комплексностью векторов Eka, Hka, в отличие от эрмитовых
операторов поля Е, Н.
КАЛИБРОВОЧНАЯ ИНВАРИАНТНОСТЬ
29
товой механике. Это связано с тем, что (как было указано в § 1) понятие координат фотона вообще не имеет физического смысла. К математическому аспекту этой ситуации мы вернемся еще в конце следующего параграфа.
Компоненты разложения Фурье функции А (г, t) по координатам образуют волновую функцию фотона в импульсном представлении; обозначим ее через A (k, t) = к(к)е~ш. Так, для состояния с определенным импульсом к и поляризацией е<а> волновая функция импульсного представления дается просто коэффициентом при экспоненциальном множителе в (2,26):
Aka (к , 8 ) = 4я "77= ^k'k^a'a* (3,3)
У 2<в
В соответствии с измеримостью импульса свободной частицы волновая функция импульсного представления имеет более глубокий физический смысл, чем функция координатного представления: она дает возможность вычислить вероятности m>ka различных значений импульса и поляризации фотона, находящегося в заданном состоянии. Согласно общим правилам квантовой механики wka, дается квадратом модулей коэффициентов разложения функции А (к') по волновым функциям состояний с определенными к и е(а>:
Wka, СО
X Ака (к', °0 А (к')
к'а'
(коэффициент пропорциональности зависит от способа нормировки функций). Подставив сюда (3,3), получим
ofca счэ | е(а)А (к) |2. (3,4)
После суммирования по двум поляризациям найдем вероятность фотону иметь импульс к:
wk со | А (к) |2. (3,5)
§ 4. Калибровочная инвариантность
Как известно, выбор потенциалов поля в классической электродинамике неоднозначен: компоненты 4-потенциала Ац можно подвергнуть произвольному калибровочному (или градиентному) преобразованию вида
+ (4,1)
Где y—произвольная функция координат и времени (см. II, § 18).
Для плоской волны, если ограничиться преобразованиями, Не меняющими вида потенциала (его пропорциональности множителю exp (— ikрХ11)), неоднозначность сводится к возможности
30 ФОТОН (Гл. I
прибавления к амплитуде волны любого 4-вектора, пропорционального 4-вектору к?.
Неоднозначность потенциала сохраняется, конечно, и в квантовой теории—применительно к операторам поля или к волновым функциям фотонов. Не предрешая способа выбора потенциалов, надо писать вместо (2,17) аналогичное разложение для операторного 4-потенциала
^ = 2 (cka^L+3kVO, (4,2)
ка ' ’ '
где волновые функции —4-векторы вида
А? = Уь1^е-^х\ ^* = -1,
или в краткой записи, опуская четырехмерные векторные индексы:
